凸性的概述

1. 凸性的概述

久期描述了价格-收益率曲线的斜率，凸性描述了价格/收益率曲线的弯曲程度。凸性是债券价格对收益率的二阶导数。

2. 凸性的介绍

《凸性》是2011年5月1日出版的图书，作者是史树中。

3. 凸性的凸性的计算

由债券定价定理1与4可知，债券价格-收益率曲线是一条从左上向右下倾斜，并且下凸的曲线。下图中b>a。债券定价定理1：债券价格与到期收益率成反向关系。若到期收益率大于息票率，则债券价格低于面值，称为折价债券(discount bonds);若到期收益率小于息票率，则债券价格高于面值，称为溢价债券(premium bonds);若息票率等于到期收益率，则债券价格等于面值，称为平价债券(par bonds)。对于可赎回债券，这一关系不成立。债券定价定理4：若债券期限一定，同等收益率变化下，债券收益率上升导致价格下跌的量，要小于收益率下降导致价格上升的量。例：三债券的面值都为1000元，到期期限5年，息票率7%，当到期收益率变化时。到期收益率(%) 6 7 8价格 1042.12 1000 960.07债券价格变化率(%) 4.21 0 -4.00

4. 凸函数的性质是什么？

凸函数的定义如下：
对于一元函数f(xf(x)，如果对于任意tϵ［0,1]均满足：f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)，则称f(x)f(x)为凸函数，同时如果对于任意tϵ（0,1))均满足：f(tx1+(1−t)x2)<tf(x1)+(1−t)f(x2)f(tx1+(1−t)x2)<tf(x1)+(1−t)f(x2)，则称f(x)f(x)为严格凸函数。

函数的特性
1、有界性
设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。
2、单调性
设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

5. 凸函数及其性质

     证明过程如下    
    证明 ：因为    均为正实数，故有                                              
    证明 ： 由定义可知，对于严格上凸函数，   等号成立时当且仅当     。而根据上文对于上凸函数对于    不等式推导过程可知，若上凸函数为严格上凸函数，则第一个    处等号成立当且仅当：  ；第二个    处等号成立当且仅当：  ；   ；第    个    处等号成立当且仅当：   。所有等号都成立则以上条件都需满足，对以上条件反向推导可得：  ；  ；   ；   。
    证明 ：因为    均为正实数，故有                                                  
    证明 ： 由定义可知，对于严格下凸函数，   等号成立时当且仅当     。而根据上文对于下凸函数对于    不等式推导过程可知，若下凸函数为严格下凸函数，则第一个    处等号成立当且仅当：  ；第二个    处等号成立当且仅当：  ；   ；第    个    处等号成立当且仅当：   。所有等号都成立则以上条件都需满足，对以上条件反向推导可得：  ；  ；   ；   。

6. 请问凸性为什么这么重要呢？

凸性：对债券久期利率敏感性的测量

7. 凸性有什么用？

8. 什么是凸性和基点价值

一、凸性
1.是价格收益率曲线的二阶导数；
2.Convexity越大， 越弯曲， 通过duration计算出来的price change的误差就越大。
3.Duration的计算实际上是衡量在变化比较小的时候， 将收益率曲线的变化近似成直线的变化来估计。
4.基于duration计算出来的债券的价格的变化，比实际的变化要大----价格的实际变化实际上要小些！----因为收益率曲线是弯曲的，而不是直的---根据图形理解记忆！
5.Percentage change in price=duration effect +convexity effect=[-duration*?y + convexity *(?y)^2]*100
6.Convexity 是一个好东西！使得价格上升到更多，下降的更小。
7.Effective convexity考虑了由于内置的option对现金流的影响---是计算option 的bond的正确方法。
二、基点价值basis point
基点价值万分之一的收益率变化对价格变化的价值。
1.Price value of one basis point=duration*.0001*bond value
2.可以用来计算利率风险。
三、几点重要补充：
1.零息债券的duration 就等于其maturity的期限！
2.当市场利率下降时候，买入duration长的债券， 卖出duration短的债券-----为什么？
a.利率下降，债券价格上升，duration长的债券价格上升的幅度大！
3.含有option的bond，由于久期较小，所以interest risk就比较小！
不论是call 还是put option 其对于债券的价格影响都是使得价格相对利率的变动不明显---less sensitive！Floating rate security其coupon rate随着市场的market yield会有变化， 所以其价格对于市场的market yield的变化比较less sensitive！