布朗运动的几种视角

1. 布朗运动的几种视角

 用  表示一个布朗运动
    在对连续时间定义好 filtration    后，鞅的概念是容易推广到连续时间上的：对  ，满足  
    由布朗运动的独立增量性，我们有：  因此布朗运动是一个连续时间的鞅。
    值得注意的是连续时间鞅，它的轨道不一定连续（当然布朗运动是连续的）。可以证明，轨道连续的 连续时间鞅 ， 本质上一定是一个布朗运动 ，但是在任意时刻的方差可以变化。
    连续时间的马尔可夫过程也是类似的。简单来说，就是给出  ，  的分布只与给定  的分布有关。
    对一个布朗运动，时刻  之后发生的事情独立与时刻  之前发生的事情，这种性质叫做 强马尔可夫性 。
   如果一个随机过程在任意有限个时间节点上组成的随机向量的有限维分布都是高斯分布，那么这个过程就叫做高斯过程。
   给定  ，那么  就是一组独立的正态分布随机变量。从而  服从高斯分布。
   高斯分布由均值向量和协方差矩阵唯一确定，对于标准布朗运动，我们有：  
   定义  ，显然  是一个停时，表示位置  的首达时刻。
     是一个指数鞅。从而我们可以定义停止过程  ，它也是一个鞅。通过这个命题可以证明，布朗运动的首达时间几乎绝对有限，即  
      关于布朗运动比较全面的介绍，参考：
    金融随机分析1——概率论和布朗运动 

2. 几何布朗运动和分数布朗运动有什么区别

几何布朗运动 (GBM) (也叫做指数布朗运动) 是连续时间情况下的随机过程，其中随机变量的对数遵循布朗运动,[1] also called aWiener process.几何布朗运动在金融数学中有所应用，用来在布莱克-舒尔斯定价模型中模仿股票价格。
分数布朗运动
世界是非线性的，宇宙万物绝大部分不是有序的、线性的、稳定的，而是混沌的、非线性的、非稳定和涨落不定的沸腾世界。有序的、线性的、稳定的只存在于我们自己构造的理论宫殿，而现实宇宙充满了分形。在股票市场的价格波动、心率及脑波的波动、电子元器件中的噪声、自然地貌等大量的自然现象和社会现象中存在着一类近乎全随机的现象，它们具有如下特性：在时域或空域上有自相似性和长时相关性和继承性；在频域上，其功率谱密度在一定频率范围内基本符合1/f的多项式衰减规律。因此被称为1/f族随机过程。Benoit Mandelbrot和Van Ness 提出的分数布朗运动(fractional Brownian motion，FBM)模型是使用最广泛的一种，它具有自相似性、非平稳性两个重要性质，是许多自然现象和社会现象的内在特性。分数布朗运动被赋予不同的名称，如分形布朗运动、有偏的随机游走(Biased Random walk)、分形时间序列(Fractional time serial)、分形维纳过程等。其定义如下：
设0<H<1，Hurst参数为H的分数布朗运动为一连续Gaussian过程，且 ，协方差为 。H=1/2时， 即为标准布朗运动 。
分数布朗运动特征是时间相关函数C(t)≠0,即有持久性或反持久性,或者说有“长程相关性”,不失一般性，可以给出一维情形的布朗运动及分数布朗运动的定义。分数布朗运动既不是马尔科夫过程，又不是半鞅，所以不能用通常的随机来分析。分数布朗运动与布朗运动之间的主要区别为：分数布朗运动中的增量是不独立的，而布朗运动中的增量是独立的；分数布朗运动的深层次上和布朗运动的层次上它们的分维值是不同的，分数布朗运动（分形噪声）的分维值alpha等于1/H，H为Hurst指数，而布朗运动（白噪声）的分维值都是2。
Hurst在一系列的实证研究中发现，自然现象都遵循“有偏随机游走”，即一个趋势加上噪声，并由此提出了重标极差分析法(Rescaled Range Analysis，R/S分析)。设R/S表示重标极差，N表示观察次数，a是固定常数，H表示赫斯特指数，在长达40多年的研究中，通过大量的实证研究，赫斯特建立了以下关系:
R/S=(aN)H
通过对上式取对数，可得：
log(R/S)=H(logN十loga)
只要找出R/S关于N的log/log图的斜率，就可以来估计H的值。 Hurst指数H用来度量序列相关性和趋势强度：当H=0.5时，标准布朗运动，时间序列服从随机漫步；当H≠0.5时,C(t)≠0，且与时间无关，正是分数布朗运动的特征。当0.5<H<1时，序列是趋势增强的，遵循有偏随机游走过程；当0<H<0.5时，序列是反持续性的。可以看出，Hurst指数能够很好地刻画证券市场的波动特征，将R/S分析应用于金融市场，可以判断收益率序列是否具有记忆性，记忆性是持续性的还是反持续性的。所以，分数布朗运动是复杂系统科学体系下的数理金融学的一个合适的工具，作为对描述金融市场价格波动行为模型的维纳过程的一般化、深刻化具有重要的理论与现实意义。

3. 布朗运动的特点

4. 布朗运动的概念和特点

布朗运动的概念和特点

5. 几何布朗运动和分数布朗运动有什么区别

几何布朗运动 (GBM) (也叫做指数布朗运动) 是连续时间情况下的随机过程,其中随机变量的对数遵循布朗运动,[1] also called aWiener process.几何布朗运动在金融数学中有所应用,用来在布莱克-舒尔斯定价模型中模仿股票价格.
分数布朗运动
世界是非线性的,宇宙万物绝大部分不是有序的、线性的、稳定的,而是混沌的、非线性的、非稳定和涨落不定的沸腾世界.有序的、线性的、稳定的只存在于我们自己构造的理论宫殿,而现实宇宙充满了分形.在股票市场的价格波动、心率及脑波的波动、电子元器件中的噪声、自然地貌等大量的自然现象和社会现象中存在着一类近乎全随机的现象,它们具有如下特性：在时域或空域上有自相似性和长时相关性和继承性；在频域上,其功率谱密度在一定频率范围内基本符合1/f的多项式衰减规律.因此被称为1/f族随机过程.Benoit Mandelbrot和Van Ness 提出的分数布朗运动(fractional Brownian motion,FBM)模型是使用最广泛的一种,它具有自相似性、非平稳性两个重要性质,是许多自然现象和社会现象的内在特性.分数布朗运动被赋予不同的名称,如分形布朗运动、有偏的随机游走(Biased Random walk)、分形时间序列(Fractional time serial)、分形维纳过程等.

6. 几何布朗运动的几何布朗运动的特性

给定初始值S0，根据伊藤积分，上面的 SDE（【数】随机微分方程式）有如下解:  St=S0exp((μ−σ22)t+σWt),  对于任意值 t，这是一个对数正态分布随机变量，其期望值和方差分别是  E(St)=S0eμt,  Var(St)=S20e2μt(eσ2t−1),  也就是说St的概率密度函数是:  fSt(s;μ,σ,t)=12π−−√1sσt√exp⎛⎝⎜⎜−(lns−lnS0−(μ−12σ2)t)22σ2t⎞⎠⎟⎟.  根据伊藤引理，这个解是正确的。比如，考虑随机过程 log(St). 这是一个有趣的过程，因为在布莱克-舒尔斯模型中这和股票价格的对数回报率相关。对f(S) = log(S)应用伊藤引理，得到  dlog(S)=f′(S)dS+12f′′(S)S2σ2dt=1S(σSdWt+μSdt)−12σ2dt=σdWt+(μ−σ2/2)dt.  于是Elog(St)=log(S0)+(μ−σ2/2)t.这个结果还有另一种方法获得：applying the logarithm to the explicit solution of GBM:  log(St)=log(S0exp((μ−σ22)t+σWt))=log(S0)+(μ−σ22)t+σWt.  取期望值，获得和上面同样的结果:Elog(St)=log(S0)+(μ−σ2/2)t.

7. 布朗运动的介绍

8. 几何布朗运动?

问题一：几何布朗运动的均值函数怎么求  设布朗运动为B(t),布朗运动本身是正态分布,而且满足分布~N（0,t）.几何布朗运动是W（t）=exp（B（t））；这是一个很好的线性对应关系.所以均值就是（如图） 
  解这个简单的积分,就得到均值：exp（t/2） 顺便方差也求了吧：exp（2t）-exp(t) 
  
   问题二：请问如何用R语言做大量次数的几何布朗运动的模拟（参数μ，σ已知） 10分 这上网搜应该搜的到吧，比如这篇文章 
  股票价格行为关于几何布朗运动的模拟--基于中国上证综指的实证研究 
  ,照着几何布朗运动的公式直接写代码应该就行了吧，代码逻辑都很清晰。 
  下面是照着这片文章模拟一次的代码，模拟多次的话，外面再套个循环应该就行了。然后再根据均方误差(一般用这个做准则的多)来挑最好的。 
  话说你的数据最好别是分钟或者3s切片数据，不然R这速度和内存够呛。 
  N  问题三：研究衍生品的时候为什么用几何布朗运动来模拟股票价格的运行轨迹  其实很简单，GBM（至少在一定程度上）符合人们对市场的观察。例如，直观的说，股票的价格看起来很像随机游走，再例如，股票价格不会为负，这样起码GBM比普通的布朗运动合适，因为后者是可以为负的。 
  再稍微复杂一点，对收益率做测试（ S(t)/S(t-1) - 1）做测试，发现，哎居然还基本是个正态分布。收益率是正态的，股价就是GBM模型 
  总之，就是大家做了很多统计测试，发现假设成GBM还能很好的逼近真实数值，比较接近事实。所以就用这个。 
  其实将精确的数学模型应用到金融的时间非常短。最早是1952年的Markowitz portfolio selection. 那个其实就是一个简单的优化问题。后来的CAPM APT等诸多模型，也仅仅研究的是一系列证券，他们之间回报、收益率以及其他影响因素关系，没有涉及到对股价运动的描述。 
  第一次提出将股价是GBM应用在严格模型的是black-scholes model 。在这个模型中提出了若干个假设，其中一个就是股价是GBM的。 
  
   问题四：如何确定几何布朗运动模型中的参数  几何布朗运动只是模型，是 exp{Bt }这样的形式。你用模型什么事是关键，确定参数，在英文中叫calibration. 
  如果你是用 geometric brownian motion 去模型options, 这样的东西，是关系你的模型本身，比如black-scholes模型，关于它的参数calibration，这样的技术其实已经很完备，经典的金融数学教科书上都有的，其主要是根据市场上option的价格反推出模型的参数的。