费马对数论的贡献

1. 费马对数论的贡献

17世纪初，欧洲流传着公元三世纪古希腊数学家丢番图所写的《算术》一书。l621年费马在巴黎买到此书，他利用业余时间对书中的不定方程进行了深入研究。费马将不定方程的研究限制在整数范围内，从而开始了数论这门数学分支。费马在数论领域中的成果是巨大的，其中主要有：费马大定理：n>2是整数，则方程x^n+y^n=z^n没有满足xyz≠0的整数解。这个是不定方程，它已经由英国数学家怀尔斯证明了(1995年)，证明的过程是相当艰深的！费马小定理：a^p-a≡0(mod p)，其中p是一个素数，a是正整数，它的证明比较简单。事实上它是Euler定理的一个特殊情况，Euler定理是说：a^φ(n)-1≡0(mod n),a，n都是正整数，φ(n)是Euler函数，表示和n互素的小于n的正整数的个数（它的表达式欧拉已经得出，可以在“Euler公式”这个词条里找到）。另外还有：(1)全部大于2的素数可分为4n+1和4n+3两种形式。(2)形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。(3)没有一个形如4n+3的素数，能表示为两个平方数之和。(4)形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。(5)边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。(6)4n+1形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和；5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和，以此类推，直至无穷。(7)发现了第二对亲和数：17296和18416。十六世纪，已经有人认为自然数里就仅有一对亲和数：220和284。有一些无聊之士，甚至给亲和数抹上迷信色彩或者增添神秘感，编出了许许多多神话故事。还宣传这对亲和数在魔术、法术、占星术和占卦上都有重要作用等等。距离第一对亲和数诞生2500多年以后，历史的车轮转到十七世纪，1636年，法国“业余数学家之王”费马找到第二对亲和数17296和18416，重新点燃寻找亲和数的火炬，在黑暗中找到光明。两年之后，“解析几何之父”——法国数学家勒奈·笛卡儿(René Descartes)于1638年3月31日也宣布找到了第三对亲和数9437506和9363584。费马和笛卡尔在两年的时间里，打破了二千多年的沉寂，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛。

2. 马尔可夫的数学贡献

 不定方程称为马尔可夫方程。求解方法如下：先凭观察找出(x1,x2,x3) = (1,1,1)这组解。方程可视为一个x3为未知数的一元二次方程。根据韦达定理，可知(x1,x2,3x1x2 − x3)（留意）也是一个解。这个方程有无限个解。事实上，用这个方法由(1,1,1)开始，可以找出这方程的所有正整数数组解。在此不定方程的解出现的正整数称为马尔可夫数（Markov number），它们由小到大是：1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... （OEIS:A002559）它们组成的解是：(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610) ... 马尔可夫方程的解马尔可夫数可以排成一棵二叉树（如图）。在二叉树上，和1的范围相邻的数（即2, 5, 13, 34, 89, ...），都是相隔的斐波那契数（斐波那契数的定义为，即1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 , 55, 89...）。这是说()都是此方程的解。和2的范围邻接的数（即1, 5, 29, 169, ...）也有相似的特质：它们都是相隔的佩尔数（佩尔数的定义为，即1, 2, 5, 12, 29, 70, 169... ）。 马尔可夫-赫尔维茨方程（Markoff-Hurwitz equation），是指形式如的不定方程，其中a,n是正整数。赫尔维茨证明方程有(0,...,0)之外的解唯若。 概述马尔可夫决策过程是基于马尔可夫过程理论的随机动态系统的最优决策过程。马尔可夫决策过程是序贯决策的主要研究领域。它是马尔可夫过程与确定性的动态规划相结合的产物，故又称马尔可夫型随机动态规划，属于运筹学中数学规划的一个分支。马尔可夫决策过程是指决策者周期地或连续地观察具有马尔可夫性的随机动态系统，序贯地作出决策。即根据每个时刻观察到的状态，从可用的行动集合中选用一个行动作出决策，系统下一步（未来）的状态是随机的，并且其状态转移概率具有马尔可夫性。决策者根据新观察到的状态，再作新的决策，依此反复地进行。马尔可夫性是指一个随机过程未来发展的概率规律与观察之前的历史无关的性质。马尔可夫性又可简单叙述为状态转移概率的无后效性。状态转移概率具有马尔可夫性的随机过程即为马尔可夫过程。马尔可夫决策过程又可看作随机对策的特殊情形，在这种随机对策中对策的一方是无意志的。马尔可夫决策过程还可作为马尔可夫型随机最优控制，其决策变量就是控制变量。发展概况50年代R.贝尔曼研究动态规划时和L.S.沙普利研究随机对策时已出现马尔可夫决策过程的基本思想。R.A.霍华德(1960)和D.布莱克韦尔(1962)等人的研究工作奠定了马尔可夫决策过程的理论基础。1965年，布莱克韦尔关于一般状态空间的研究和E.B.丁金关于非时齐（非时间平稳性）的研究，推动了这一理论的发展。1960年以来，马尔可夫决策过程理论得到迅速发展，应用领域不断扩大。凡是以马尔可夫过程作为数学模型的问题，只要能引入决策和效用结构，均可应用这种理论。数学描述周期地进行观察的马尔可夫决策过程可用如下五元组来描述：{S，(A(i)，i∈S，q，γ，V},其中S 为系统的状态空间（见状态空间法）； A(i)为状态i(i∈S)的可用行动（措施，控制）集；q为时齐的马尔可夫转移律族，族的参数是可用的行动；γ是定义在Γ(Г呏{(i，ɑ):a∈A(i)，i∈S}上的单值实函数；若观察到的状态为i，选用行动a，则下一步转移到状态 j的概率为q(j│i，ɑ)，而且获得报酬γ(j，ɑ),它们均与系统的历史无关；V是衡量策略优劣的指标（准则）。策略策略是提供给决策者在各个时刻选取行动的规则，记作π=(π0，π1，π2，…， πn，πn+1…)，其中πn是时刻 n选取行动的规则。从理论上来说，为了在大范围寻求最优策略πn，最好根据时刻 n以前的历史，甚至是随机地选择最优策略。但为了便于应用，常采用既不依赖于历史、又不依赖于时间的策略，甚至可以采用确定性平稳策略。指标衡量策略优劣的常用指标有折扣指标和平均指标。折扣指标是指长期折扣〔把 t时刻的单位收益折合成0时刻的单位收益的βt(β < 1)倍〕期望总报酬；平均指标是指单位时间的平均期望报酬。采用折扣指标的马尔可夫决策过程称为折扣模型。业已证明：若一个策略是β折扣最优的，则初始时刻的决策规则所构成的平稳策略对同一β也是折扣最优的，而且它还可以分解为若干个确定性平稳策略，它们对同一β都是最优的。现在已有计算这种策略的算法。采用平均指标的马尔可夫决策过程称为平均模型。业已证明：当状态空间S 和行动集A(i)均为有限集时，对于平均指标存在最优的确定性平稳策略；当S和（或）A(i)不是有限的情况,必须增加条件，才有最优的确定性平稳策略。计算这种策略的算法也已研制出来。

3. 数学界是如何评价费马的？

4. 费尔马点的贡献

在费尔马对数学的多种多样的贡献中，最杰出的是对现代数论的奠基．在这个领域中，费尔马有非凡的直觉和能力．最初吸引费尔马注意数论的，也许是梅齐利亚克(Bachetde Meziriac)1621年翻译的丢番图《算术》(Arithmetica)的拉丁文译本．费尔马在此领域的许多贡献就写在他的梅齐利亚克译作手抄本的页边上．1670年，在他死后五年，这些笔记由他的儿子萨穆埃尔(Clement—Samuel)编入《算术》新版(印得不大仔细)发表．许多由费尔马宣布的未被证明的定理，后来已被证明是正确的，其中就有在当时仅次于哥德巴赫猜想的费尔马猜想（现为费尔马大定理）。

5. 是什么所导致费尔马取得了专业的数学成就？

费尔马30岁以后，几乎把精力全都放在数学研究上，他的家境优越，家庭和睦幸福，交际圈又多为学者，这一切使得费尔玛在业余的范围内取得了专业的数学成就。费尔马和笛卡尔一起，完善了平面解析几何，是他第一次把三元方程应用于空间解析几何学。费尔马同帕斯卡一起，讨论了赌本分配的问题，成为最早的概率论问题。

6. 为什么说费尔马是业余数学家之王

费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于艾萨克·牛顿、戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨，概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人。此外，费马对物理学也有重要贡献。一代数学天才费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家之一。

主要贡献
对解析几何的贡献
　　费马独立于勒奈·笛卡儿发现了解析几何的基本原理。
　　1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。
　　费马于1636年与当时的大数学家梅森、罗贝瓦尔开始通信，对自己的数学工作略有言及。但是《平面与立体轨迹引论》的出版是在费马去世14年以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到费马的工作，而现在看来，费马的工作却是开创性的。
　　《平面与立体轨迹引论》中道出了费马的发现。他指出：“两个未知量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。”费马的发现比勒奈·笛卡儿发现解析几何的基本原理还早七年。费马在书中还对一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。
　　笛卡儿是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费马则是从方程出发来研究轨迹的，这正是解析几何基本原则的两个相对的方面。
　　在1643年的一封信里，费马也谈到了他的解析几何思想。他谈到了柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面，指出：含有三个未知量的方程表示一个曲面，并对此做了进一步地研究。
对微积分的贡献
　　16、17世纪，微积分是继解析几何之后的最璀璨的明珠。人所共知，牛顿和莱布尼茨是微积分的缔造者，并且在其之前，至少有数十位科学家为微积分的发明做了奠基性的工作。但在诸多先驱者当中，费马仍然值得一提，主要原因是他为微积分概念的引出提供了与现代形式最接近的启示，以致于在微积分领域，在牛顿和莱布尼茨之后再加上费马作为创立者，也会得到数学界的认可。
　　曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一。这项工作较为古老，最早可追溯到古希腊时期。阿基米德为求出一条曲线所包任意图形的面积，曾借助于穷竭法。由于穷竭法繁琐笨拙，后来渐渐被人遗忘、直到16世纪才又被重视。由于约翰尼斯开普勒在探索行星运动规律时，遇到了如何确定椭圆形面积和椭圆弧长的问题，无穷大和无穷小的概念被引入并代替了繁琐的穷竭法。尽管这种方法并不完善，但却为自卡瓦列里到费马以来的数学家开辟厂一个十分广阔的思考空间。
　　费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。
对概率论的贡献
　　早在古希腊时期，偶然性与必然性及其关系问题便引起了众多哲学家的兴趣与争论，但是对其有数学的描述和处理却是15世纪以后的事。l6世纪早期，意大利出现了卡尔达诺等数学家研究骰子中的博弈机会，在博弈的点中探求赌金的划分问题。到了17世纪，法国的帕斯卡和费马研究了意大利的帕乔里的著作《摘要》，建立了通信联系，从而建立了概率学的基础。
　　费马考虑到四次赌博可能的结局有2×2×2×2＝16种，除了一种结局即四次赌博都让对手赢以外，其余情况都是第一个赌徒获胜。费马此时还没有使用概率一词，但他却得出了使第一个赌徒赢得概率是15／16，即有利情形数与所有可能情形数的比。这个条件在组合问题中一般均能满足，例如纸牌游戏，掷银子和从罐子里模球。其实，这项研究为概率的数学模型一概率空间的抽象奠定了博弈基础，尽管这种总结是到了1933年才由柯尔莫戈罗夫作出的。
　　费马和布莱士·帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率论的基本原则——数学期望的概念。这是从点的数学问题开始的：在一个被假定有同等技巧的博弈者之间，在一个中断的博弈中，如何确定赌金的划分，已知两个博弈者在中断时的得分及在博弈中获胜所需要的分数。费马这样做出了讨论：一个博弈者A需要4分获胜，博弈者B需要3分获胜的情况，这是费马对此种特殊情况的解。因为显然最多四次就能决定胜负。
　　一般概率空间的概念，是人们对于概念的直观想法的彻底公理化。从纯数学观点看，有限概率空间似乎显得平淡无奇。但一旦引入了随机变量和数学期望时，它们就成为神奇的世界了。费马的贡献便在于此。
对数论的贡献
　　17世纪初，欧洲流传着公元三世纪古希腊数学家丢番图所写的《算术》一书。l621年费马在巴黎买到此书，他利用业余时间对书中的不定方程进行了深入研究。费马将不定方程的研究限制在整数范围内，从而开始了数论这门数学分支。
　　费马在数论领域中的成果是巨大的，其中主要有：
　　费马大定理：n>2是整数，则方程x^n+y^n=z^n没有满足xyz≠0的整数解。这个是不定方程，它已经由英国数学家怀尔斯证明了(1995年)，证明的过程是相当艰深的！
　　费马小定理：a^p-a≡0(mod p)，其中p是一个素数，a是正整数，它的证明比较简单。事实上它是Euler定理的一个特殊情况，Euler定理是说：a^φ(n)-1≡0(mod n),a，n都是正整数，φ(n)是Euler函数，表示和n互素的小于n的正整数的个数（它的表达式欧拉已经得出，可以在“Euler公式”这个词条里找到）。
　　另外还有：
　　(1)全部大于2的素数可分为4n+1和4n+3两种形式。
　　(2)形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。
　　(3)没有一个形如4n+3的素数，能表示为两个平方数之和。
　　(4)形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。
　　(5)边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。
　　(6)4n+1形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和；5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和，以此类推，直至无穷。
　　(7)发现了第二对亲和数：17296和18416。
　　十六世纪，已经有人认为自然数里就仅有一对亲和数：220和284。有一些无聊之士，甚至给亲和数抹上迷信色彩或者增添神秘感，编出了许许多多神话故事。还宣传这对亲和数在魔术、法术、占星术和占卦上都有重要作用等等。
　　距离第一对亲和数诞生2500多年以后，历史的车轮转到十七世纪，1636年，法国“业余数学家之王”费马找到第二对亲和数17296和18416，重新点燃寻找亲和数的火炬，在黑暗中找到光明。两年之后，“解析几何之父”——法国数学家勒奈·笛卡儿(René Descartes)于1638年3月31日也宣布找到了第三对亲和数9437506和9363584。费马和笛卡尔在两年的时间里，打破了二千多年的沉寂，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛。
对光学的贡献
　　费马在光学中突出的贡献是提出最小作用原理，也叫最短时间作用原理。这个原理的提出源远流长。早在古希腊时期，欧几里得就提出了光的直线传播定律相反射定律。后由海伦揭示了这两个定律的理论实质——光线取最短路径。经过若干年后，这个定律逐渐被扩展成自然法则，并进而成为一种哲学观念。—个更为一般的“大自然以最短捷的可能途径行动”的结论最终得出来，并影响了费马。费马的高明之处则在于变这种的哲学的观念为科学理论。
　　费马同时讨论了光在逐点变化的介质中行径时，其路径取极小的曲线的情形。并用最小作用原理解释了一些问题。这给许多数学家以很大的鼓舞。尤其是莱昂哈德·欧拉，竟用变分法技巧把这个原理用于求函数的极值。这直接导致了拉格朗日的成就，给出了最小作用原理的具体形式：对一个质点而言，其质量、速度和两个固定点之间的距离的乘积之积分是一个极大值和极小值；即对该质点所取的实际路径来说，必须是极大或极小。

7. 业余数学家之王的费马原来是干什么的

　　费玛（1601年8月20日～1665年1月12日）出生於一个皮革商的家庭，位在法国的 Toulouse 附近。他在 Toulouse 大学读法律，毕业后的正业是律师、宫庭顾问，并且在1631年成为 Toulouse 地区的议员。

    在忙碌的正业之外，数学是他的业余嗜好。他利用空闲的时间研究数学，并且将所得的结果，寄给朋友，互相讨论，或保留著没有发表。他的稿件，在他死后由其儿子在1679年出版，这就是我们所知道的费玛的著作《Varia Opera》。 

    西方世界经历十五、十六世纪文艺复兴的蕴酿，在十七世纪初，正是各门学问突破之际。尤其是处在微积分要诞生，科学革命要发生的前夕，费玛在许多学问分支都扮演著开路先锋的关键性角色，他的主要贡献领域有：解析几何、微积分、机率论、光学以及数论。

8. 数学家费马的轶事有人知道吗?

分类:  教育/科学 
   解析: 
  
 名人轶事 
 
 陈关荣 
 
 1995 年，普林斯顿大学的英国人教授韦尔斯 (Andrew John Wiles) 因证明了著名的费马猜想 (Fermat’s Conjecture) 而名扬天下。 1637年，法国职业律师、业余数学家费马 (Pierre de Fermat) 在阅读丢番图 (Diophantus of Alexandria) 的《算术》拉丁文译本时，在第11卷第8命题旁写下了一个短短的手记，说方程式对所有的都没有非零的整数解。可惜他说书边的地方太小而不能写下他的 “一个绝妙的证明”, 因此而留下了一个迷人的疑索。 
 
 Andrew John Wiles
 
  
 
 300多年来，全世界不少大大小小的数学家曾经作过许多努力，试图去证明费马的猜想是对的，但都徒劳无功。韦尔斯在这场令人神往的数学接力赛中第一个跑到了终点，自然获得了许多的奖励。 除去1998年的菲尔兹奖 (Fields Medal) 不说，另一项有名的大奖是1908年德国人窝尔夫斯克尔 (Paul Wolfskehl) 设立的10万马克 (当时的面值约等于现在的1百万英镑) 的奖赏。
 
 Paul Wolfskehl
 
 说起这个窝尔夫斯克尔，许多人还真不知道他是谁。当年这个生于德国Darmstadt 的银行家的儿子，在大学里曾经读过数学。他后来在工业界里小有名气，曾经如痴如狂地迷恋上一个漂亮的女孩子。可是，令他沮丧的是他的求爱一再被拒绝。他最后情陷太深而不能自拔，于是决定自杀，而且选好了日子，决定在午夜教堂钟声响起的时候，告别这个无情的世界。
 
 据说女人要自杀，都会痛哭一场、悲不成声；男人要自杀，都会痛饮一场、痛苦万分。窝尔夫斯克尔则与众不同，他在剩下的日子里，若无其事，除了写下一个遗嘱，每天依然努力工作，直到预定自杀那天。当天傍晚，他见离半夜还有几个小时，便跑到图书馆去，翻阅一些平时喜欢浏览的数学书刊，打发剩下的时光。可是他不知不觉地被库玛 (Eduard Kummer) 在一篇文章中解释为什么连柯西 (Augustin-Louis Cauchy) 等大名鼎鼎的数学家都证明不出费马猜想的论述深深吸引住了。有趣的是，窝尔夫斯克尔竟然发现了库玛的论述中有一处不严谨的地方。他想，让我来补足吧。于是他一直推敲到黎明，终于完成了那项补证工作。他那时候欣喜万分，满脑子费马，决定不自杀了，反而重新修改了他刚写好不久的遗嘱，要把他将来会留下的大笔财产设立一个奖项，用来奖励第一个完成费马猜想证明的人。
 
 窝尔夫斯克尔当然不知道，后来由于世界大战等缘故，他的遗产最后只剩下约3万英镑留给了韦尔斯。