线性代数分析相关性问题

1. 线性代数分析相关性问题

向量组B=(a1，a2, a3)*

1 0 1
1 1 0
0 1 1
=(a1，a2, a3)*P
矩阵P行列式，|P|=
1 0 1
0 1 -1
0 1 1
=2
不为0
即P可逆

因此
向量组B的秩与向量组A的秩相等，
而向量组A线性无关（满秩）
则向量组B也线性无关

2. 线性代数相关性

3. 线性代数: 线性相关性

(a3,a2,a1,a4) = 
x  x   6   0
1  2  x+3  1
0 -2   3   x

r1-xr2
0 -x  -x^2-3x+6 -x
1  2     x+3     1
0 -2      3      x

r1*2, r3*(-1)
0 -2x  -2x^2-6x+12 -2x
1  2      x+3       1
0  2      -3       -x

r1+xr3
0  0  -2x^2-9x+12 -x^2-2x
1  2      x+3       1
0  2      -3       -x

当 -2x^2-9x+12 = 0 时 a1,a2,a3线性相关.
但它在实数域无解, 故a1,a2,a3线性无关.

x取任何值a1,a2,a3,a4都线性相关.
有一结论: 向量组中向量的个数大于维数时, 向量组线性相关.

4. 线性代数判断相关性

课本上有一个结论：
若α1，α2，……，αn线性无关，
α1，α2，……，αn，β线性相关，
则β可由α1，α2，……，αn线性表示。

根据这个定理，
假设 α1，α2线性无关，
由于 α1，α2，β线性相关，
则β 可由 α1，α2，……，αn线性表示，
与题设矛盾。

∴假设错误，
∴ α1，α2线性相关。

5. 线性代数线性相关性

这是同济书上一个定理，在书上95页有详细证明步骤，向量组B能由向量组A线性表示则R(B)≤R(A)，通过秩的判断结合线性相关性不难看出D是正确答案。

6. 线性代数，求线性相关性

向量维数为n=3，个数为m=4
根据推论1可知线性相关

7. 线性代数相关性问题

如果这n-r个解线性相关，则有不全为0的n-r个实数k1,k2,...,k(n-r)使k1(a1-a0)+k2(a2-a0)+...+k(n-r)(a(n-r)-a0)=0,
整理后，有不全为0的n-r+1个实数k1,k2,...,k(n-r)，-k1-k2-...-k(n-r)，使
k1a1+k2a2+...+k(n-r)a(n-r)+（-k1-k2-...-k(n-r)）a0=0,
这与a0,a1,...,a(n-r)线性无关矛盾。所以这n-r个解线性无关。

8. 线性代数;线性相关性

第一问：α=-4，β不等于0   
第二问：α不等于-4
第三问：α=-4，β=0.  b=t a1 +（-1-2t）a2 +a3   t为任意实数 
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