AR模型的MA模型

2024-05-15

1. AR模型的MA模型

MA模型(moving average model)滑动平均模型，模型参量法谱分析方法之一，也是现代谱估中常用的模型。设一个离散线性系统，输入u(n)是一个具有零均值与方差为σ的白噪声序列，输出是x(n)，该离散线性系统的输出和输入之间的关系可用如下图3的差分方程来表示。其系统函数为图4。式中X(Z)为输出信号x(n)的Z变换，U(Z)为输入信号u(n)的Z变换，br(r=0，…M)是系数。式①表达的信号模型称为MA模型，又称移动平均模型。按公式的物理意义可以解释为模型表示现在的输出是现在和过去M个输入的加权和。按②式，MA模型是一个全零点模型。用MA模型法求信号谱估计的具体作法是：①选择MA模型，在输入是冲激函数或白噪声情况下，使其输出等于所研究的信号，至少应是对该信号一个好的近似。②利用已知的自相关函数或数据求MA模型的参数。③利用求出的模型参数估计该信号的功率谱。在ARMA参数谱估计中，大多数估计ARMA参数的两步方法都首先估计AR参数，然后在这些AR参数基础上，再估计MA参数，然后可求出ARMA参数的谱估计。所以MA模型参数估计常作为ARMA参数谱估计的过程来计算。

AR模型的MA模型

2. AR模型的MA模型

MA模型(moving
average
model)滑动平均模型，模型参量法谱分析方法之一，也是现代谱估中常用的模型。
设一个离散线性系统，输入u(n)是一个具有零均值与方差为σ的白噪声序列，输出是x(n)，该离散线性系统的输出和输入之间的关系可用如下图3的差分方程来表示。
其系统函数为图4。
式中X(Z)为输出信号x(n)的Z变换，U(Z)为输入信号u(n)的Z变换，br(r=0，…M)是系数。式①表达的信号模型称为MA模型，又称移动平均模型。按公式的物理意义可以解释为模型表示现在的输出是现在和过去M个输入的加权和。按②式，MA模型是一个全零点模型。
用MA模型法求信号谱估计的具体作法是：①选择MA模型，在输入是冲激函数或白噪声情况下，使其输出等于所研究的信号，至少应是对该信号一个好的近似。②利用已知的自相关函数或数据求MA模型的参数。③利用求出的模型参数估计该信号的功率谱。
在ARMA参数谱估计中，大多数估计ARMA参数的两步方法都首先估计AR参数，然后在这些AR参数基础上，再估计MA参数，然后可求出ARMA参数的谱估计。所以MA模型参数估计常作为ARMA参数谱估计的过程来计算。

3. ARIMA模型的介绍

全称为自回归积分滑动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出一著名时间序列预测方法1，所以又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法。其中ARIMA（p，d，q）称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归， p为自回归项； MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。所谓ARIMA模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。ARIMA模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归移动平均过程（ARMA）以及ARIMA过程。

ARIMA模型的介绍

4. AR模型简单理解

（一）白噪声的检验
   一般判断平稳有三种方法
   （1）直接画出时间序列的趋势图，看趋势判断
   （2）画出自相关和偏相关图：平稳的序列和自相关图和偏相关图要么拖尾，要么截尾。
   （3）单位根检验：检验序列中是否存在单位根，如果存在单位根就是非平稳时间序列。
   设mean（x），var（x）分别为序列{x}的平均值和方差，根据自身相关系数ACF判断是否为平稳序列：
   ACF=∑(x[i]-mean(x)) (x[i+k]-mean(x))/(n var(x))，0<=k<N,0<=i<N-k
  
 如果ACF系数随K值的增加衰减到0的速度比非平稳随机序列更快，即可说明为平稳的。
  
 不平稳序列可以通过差分转换为平稳序列。k阶差分就是相距k期的两个序列值相减。如果一个时间序列经过差分运算后具有平稳序列，则该序列为差分平稳序列。
  
 （二）AR模型的参数估计
   AR模型的参数估计主要有三种方法：矩估计、最小二乘估计和最大似然估计。
   在此学习最小二乘估计。
   对于样本序列{x t }，当j>=p+1时，记白噪声的估计为
   
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  
 
  
 //以上流程就是最小二乘用矩阵的方式运算，很简单的
  
 （三）AR模型的定阶
   在对AR模型识别时，根据其样本自相关系数的截尾步数，可初步得到AR模型的阶数p，然而，此时建立的 AR(p) 未必是最优的。
   定阶的一般步骤为：
   (1).确定p值的上限，一般是序列长度N的比例或是lnN的倍数
   (2).在补偿过max（p）值的前提下，从1开始根据某一原则确定最优p。
   一个好的模型通常要求残差序列方差较小，同时模型页相对简单，即要求阶数较低。因此我们需要一些准则来比较不同阶数的模型之间的优劣，从而确定最合适的阶数。下面给出四种常用的定阶准则。
  
 
  
 
                                          
 是序列的各阶样本自协方差函数，其最终预报误差可表示为
                                          
 在具体应用时，通常是分别建立从低阶到高阶的 AR 模型，并计算出相应的 FPE 的值，由此确定使 FPE 达到最小的 p 值。
  
 2.贝叶斯信息准则
  
 定义
                                          
 使得 BIC 达到最小值的 p 即为该准则下的最优 AR 模型的阶数。
  
 3.AIC(最小信息准则)
  
 4.SC(施瓦茨准则)
  
 另：python中有函数可以直接求AIC，BIC，HQIC的值。
  
  python操作实例推荐

5. AR模型的ARMA 模型

ARMA模型(auto regressive moving average model)自回归滑动平均模型，模型参量法高分辨率谱分析方法之一。这种方法是研究平稳随机过程有理谱的典型方法，适用于很大一类实际问题。它比AR模型法与MA模型法有较精确的谱估计及较优良的谱分辨率性能，但其参数估算比较繁琐。设一个离散线性系统，输入u(n)是一个具有零均值与方差为σ的白噪声序列，输出是x(n)，该离散线性系统输出和输入之间的关系可用如下图1的差分方程来表示。其系统函数如图2。式中X(Z)为输出信号的Z变换，U(Z)为输入信号的Z变换，以①式表达的信号模型称为ARMA模型或称为自回归滑动平均模型。一旦确定了ARMA(P，M)模型的参数，就可得到其功率谱估计。ARMA模型参数估计的方法很多：如果模型的输入序列{u(n)}与输出序列{a(n)}均能被测量时，则可以用最小二乘法估计其模型参数，这种估计是线性估计，模型参数能以足够的精度估计出来；许多谱估计中，仅能得到模型的输出序列{x(n）}，这时，参数估计是非线性的，难以求得ARMA模型参数的准确估值。从理论上推出了一些ARMA模型参数的最佳估计方法，但它们存在计算量大和不能保证收敛的缺点。因此工程上提出次最佳方法，即分别估计AR和MA参数，而不像最佳参数估计中那样同时估计AR和MA参数，从而使计算量大大减少。

AR模型的ARMA 模型

6. ARIMA模型

我看过的对ARMIA模型最简单明了的文章：https://www.cnblogs.com/bradleon/p/6827109.html
  
 1,什么是 ARIMA模型
  
 ARIMA模型的全称叫做自回归移动平均模型，全称是(ARIMA, Autoregressive Integrated Moving Average Model)。也记作ARIMA(p,d,q)，是统计模型(statistic model)中最常见的一种用来进行时间序列 预测的模型。
  
 1.1. ARIMA的优缺点
  
 优点： 模型十分简单，只需要内生变量而不需要借助其他外生变量。(所谓内生变量指的应该是仅依赖于该数据本身，而不像回归需要其他变量)
  
 缺点：
  
 1.要求时序数据是稳定的（stationary），或者是通过差分化(differencing)后是稳定的。
  
 2.本质上只能捕捉线性关系，而不能捕捉非线性关系。
  
 注意，采用ARIMA模型预测时序数据，必须是稳定的，如果不稳定的数据，是无法捕捉到规律的。比如股票数据用ARIMA无法预测的原因就是股票数据是非稳定的，常常受政策和新闻的影响而波动。
  
 1.2. 判断是时序数据是稳定的方法。
  
 严谨的定义： 一个时间序列的随机变量是稳定的，当且仅当它的所有统计特征都是独立于时间的（是关于时间的常量）。
  
 判断的方法：
  
 稳定的数据是没有趋势(trend)，没有周期性(seasonality)的; 即它的均值，在时间轴上拥有常量的振幅，并且它的方差，在时间轴上是趋于同一个稳定的值的。
  
 可以使用Dickey-Fuller Test进行假设检验。
  
 1.3 ARIMA的参数与数学形式
  
 ARIMA模型有三个参数:p,d,q。
  
 p--代表预测模型中采用的时序数据本身的滞后数(lags) ,也叫做AR/Auto-Regressive项
  
 d--代表时序数据需要进行几阶差分化，才是稳定的，也叫Integrated项。
  
 q--代表预测模型中采用的预测误差的滞后数(lags)，也叫做MA/Moving Average项
                                          
 4.ARIMA模型的几个特例
  
 1.ARIMA(0,1,0) = random walk:
  
 当d=1，p和q为0时，叫做random walk，如图所示，每一个时刻的位置，只与上一时刻的位置有关。
  
 预测公式如下：Yˆt=μ+Yt−1

7. ARMA模型的MA模型

MA模型(moving average model)滑动平均模型，模型参量法谱分析方法之一，也是现代谱估中常用的模型。用MA模型法求信号谱估计的具体作法是：①选择MA模型，在输入是冲激函数或白噪声情况下，使其输出等于所研究的信号，至少应是对该信号一个好的近似。②利用已知的自相关函数或数据求MA模型的参数。③利用求出的模型参数估计该信号的功率谱。在ARMA参数谱估计中，大多数估计ARMA参数的两步方法都首先估计AR参数，然后在这些AR参数基础上，再估计MA参数，然后可求出ARMA参数的谱估计。所以MA模型参数估计常作为ARMA参数谱估计的过程来计算。

ARMA模型的MA模型

8. ARIMA模型的基本思想

ARIMA模型的基本思想是：将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列。这个模型一旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。现代统计方法、计量经济模型在某种程度上已经能够帮助企业对未来进行预测。
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