勾股数的规律

1. 勾股数的规律

勾股数

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。

①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起九没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。

②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。


勾股数 - 构成直角三角形的充分且必要条件

设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。

例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17、10、24、26…等。

再来看下面这些勾股数：3、4、5、5、12、13，7、24、25、9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。


勾股数 - 特点
观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：

1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。

2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与这边的和。

掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。

例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？

用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。

用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。

2. 勾股数的规律

3.4.5
5.12.13
7.24.25
三组常见的勾股数，两个较小数的平方和为较大数的平方
（这三组的倍数也是，如6.8.10等）

3. 勾股数的规律

n^2 =n(n-1)/2+(n+1)n/2

4. 勾股数有什么规律

分类:  教育/学业/考试 >> 学习帮助 
   解析: 
  
 在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。 
 
 满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。 
 
 例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。 
 
 1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么 
 
  
 
 c=2+9+6=17。 
 
 则8、15、17便是一组勾股数。 
 
 证明： 
 
 ∴a、b、c构成一组勾股数 
 
 2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么 
 
 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。 
 
 例如：当m=4，n=3时， 
 
 a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 
 
 则7、24、25便是一组勾股数。 
 
 证明： 
 
 ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 
 
 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 
 
 =m4+2m2n2+4n2 
 
 =(m2+n2)2 
 
 =c2 
 
 ∴a、b、c构成一组勾股数。 
 
 3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。 
 
 首先观察已知数是奇数还是偶数。 
 
 (1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。 
 
 例如9是勾股数中的一个数， 
 
 那么9、40、41便是一组勾股数。 
 
 证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 
 
 (2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。 
 
 例如8是勾股数组中的一个数。 
 
 那么8、15，17便是一组勾股数。 
 
 证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 
 
 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 
 
 =n4+2n2+1 
 
 =(n2+1)2 
 
 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。

5. 勾股数的规律

勾股数

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。

①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起九没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。

②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。


勾股数 - 构成直角三角形的充分且必要条件

设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。

例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17、10、24、26…等。

再来看下面这些勾股数：3、4、5、5、12、13，7、24、25、9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。


勾股数 - 特点
观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：

1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。

2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与这边的和。

掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。

例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？

6. 勾股数有哪些规律

我们知道，像3，4，5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数有什么规律,下面就让我们分类探究一下:
1、最短边的长度为奇数，观察下表中的勾股数：


根据上面的表格，我们可以发现以上勾股数具备一定的特征

其中，a=n+(n+1)=2n+1，
b=2n(n+1)=2n2 +2n，
c=2n(n+1)+1= 2n2 +2n+1，

容易验证：
(2n+1)2+(2n2 +2n)2=(2n2 +2n+1)2，
即当最短边的长度为奇数时，勾股数符合上面的规律
2、最短边的长度为偶数时,观察下面表格中的勾股数：



最短边为偶数时，
a=2(n+1)=2n+2，b=n2 +2n，c= n2 +2n+2，
容易验证：
(2n+2)2+(n2 +2n)2=(n2 +2n+2)2，
即当最短边的长度为偶数时，勾股数符合以上规律
拓展资料1、勾股定理的由来
勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
3、勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，
。
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。
③可运用勾股定理解决一些实际问题。

7. 勾股数的规律~

例如：3，4，5
规律是：3²+4²=5²
6，8，10，等也有类似的规律

8. 勾股数有什么规律？？

在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。 

满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。 

例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。 

1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么 





c=2+9+6=17。 

则8、15、17便是一组勾股数。 

证明： 





∴a、b、c构成一组勾股数 

2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么 

a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。 

例如：当m=4，n=3时， 

a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 

则7、24、25便是一组勾股数。 

证明： 

∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 

=m4-2m2n2+n4+4m2n2 

=m4+2m2n2+4n2 

=(m2+n2)2 

=c2 

∴a、b、c构成一组勾股数。 

3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。 

首先观察已知数是奇数还是偶数。 

(1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。 

例如9是勾股数中的一个数， 



那么9、40、41便是一组勾股数。 

证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 







(2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。 

例如8是勾股数组中的一个数。 



那么8、15，17便是一组勾股数。 

证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 

∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 

=n4+2n2+1 

=(n2+1)2 

∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。