泛函分析有界线性算子的各种收敛定义

1. 泛函分析有界线性算子的各种收敛定义

比如X和Y是Banach空间，M和M_n：X-->Y是线性算子，n=1，2，……

如果对于任何x in X，y in Y^*（Y的对偶空间），有收敛到（这个是在实数或者复数域内），那么称为M_n弱收敛到M。

如果对于任何x in X，有M_n x收敛到Mx（按X中的范数），那么称为M_n强收敛到M。

所有的M_n和M都是L(X,Y)中的元素，而L(X,Y)本身也有范数，如果在这个范数下，M_n收敛到M，那么称为依范数收敛。

稍注意一下，以上三种收敛都是指 『算子』 的收敛。（如果只是给了一个Banach空间的话，其中元素的收敛只有强弱两种）

对于这三种收敛，依范数收敛可以推出强收敛，强收敛可以推出弱收敛。一般情况下都不能反过来。

2. 泛函分析

假设x不等于y. 
hahn-banach定理告诉我们，赋范线性空间中有足够多的连续线性泛函能够区分不同的点。然而根据弱极限的定义，X上任意的连续线性泛函f, 都有f(x)=f(y). 矛盾了.


具体的说：
令z=x-y，则z不等于0.
由hahn-banach定理, 存在f属于X*使得
f(z)=||z||  且   ||f||=1
所以f(z)不等于0.
然而, 根据弱极限的定义，对X上的任意连续线性泛函f, 都有f(x)=f(y). 即f(z)=f(x-y)=0（由f的线性性质）, 矛盾.

3. 泛函分析

2.1 函数的定义
  
 在理解泛函之前，我们首先需要重新审视函数这个基本概念。
  
 函数可以说是在基本的分析问题中最常见的基本概念了。绝大多数人不会严格去思考函数的意义，而习惯于被动地使用它们。但理解函数本身对于理解泛函是有很大的帮助的。所以我们先从数学上严格定义函数。
  
 我们知道，函数有自变量和因变量。函数的自变量可以用基本的向量
     
   来表示。而函数  则是向量空间
     上的映射。这里的两个数学符号需要解释一下。   数学上叫做基矢，它的意义是  这个方向上的单位向量，它的长度为1，方向指向  方向。  则是“直积”的意思，引入它的目的是为了扩展向量的涵义。向量本质上是一维的量，通过直积，就可以构建二维的，三维的乃至任意维度的有方向的量。实际上，可以将它看作构建坐标轴的代数表述。因为几何上构造坐标轴非常简单，就是画出来。但代数上则比较抽象。举个例子，如果存在多个方向，比如三维空间  ，就存在   三个方向
     ，那么
     就代表了三维坐标轴。因此(  ) 就表示N维空间中的坐标轴。函数的作用是将   映射到指定的空间  , 即
     
   这种数学定义看起来比较难懂，但实际上很多概念都是从这个简单的函数定义延伸出来的。
  
 既然是表述方向，那么向量空间   的各个方向的分量就必须是“正交归一的”。正交归一性包含两重含义，其一是“正交性”，它表示对于任意两个不同的方向矢量  , 它们都是互相垂直的。数学上的表示是内积为零
     
   在这里我们将   ， 是一种约定俗称的缩写记号。
  
 内积为零这个正交性要求是非常重要的。因为如果两个不同方向的方向矢量内积不为零，就会导致在一个方向上的变化会影响另一个方向，物理上这种问题叫做量子纠缠态。这种纠缠问题在分析上就会造成非常严重的困难，原本的简单线性问题就会极其复杂，而且本质上无法完全求解。很多人学到无监督学习的时候会使用PCA方法来降维，但是不明白为什么要降维。实质上根本原因就是要让基矢尽可能正交化。另外，对于监督学习来说，如果选取的特征（features）不佳，就会选到高度相关的多个特征，这同样对于算法来说是一个灾难性的选择。虽然说矩阵计算可以做到将这些相关性较高的特征主值求逆，但最终学习结果仍然是泛化能力很差。
  
 内积为零几何上代表的是互相垂直，但是内积的代数表述到底是什么呢？其实很简单，对于方向矢量来说，总可以表示成一个行矩阵或者列矩阵。我们习惯上使用列矩阵。比如在第5个方向上的方向矢量，用矩阵表述就是
     
   其中  表示我们在使用矩阵表示。那么  如何用矩阵表达呢？很简单
     这里的  的上指标   表示矩阵的转置（transpose），它将一个  矩阵逆时针旋转90度，转成一个  矩阵。在上面的例子中，它将  这个(N,1)列矩阵转成了一个  行矩阵。
  
 至于“归一性”，实质上就是说方向矢量的长度是1。这个定义也可以用内积或者矩阵乘法来表示。即，  这个归一性在线性回归分析中就体现为要对所有的特征做标度变换操作。比如通过房屋的大小，房间的数量等特征来预测房屋的价格。房屋的大小一般接近100平方米，而房间数一般只有2到5个。那么如果不进行归一化操作，采取同样的递归速率就会导致在“大小”这个特征上的回归速率比在“房间数”这个特征上的回归速率慢20到50倍，这显然是极大的浪费算力。
  
 回到函数的定义上来，函数实质上是定义了从定义域到值域（两者都是向量空间）的映射。如果函数是映射到具体的数的，那么这样的函数就是标量函数。如果函数是映射到向量的，那么就是一个矢量函数。如果函数是映射到值域上的张量的，那么就是张量函数。如果我们的函数是标量函数。那么在坐标轴空间画出来，就是一根曲线或者一个曲面或者一个复杂的几何体。但无论这个几何体多复杂，它上面每一个点都可以用
       标记它的位置。用   标记它的值。如果对于定义域有取值范围，比如0到1之间，那么得到的值域也就同样是受到约束的。如果手动限制一个函数，可以采用如下的常见定义：
     
   是约束函数，它限定了定义域的区间。
  
 这样引入约束的办法很机械，而且对于计算机来说，事先定义出约束是很困难的。所以有没有一种“自动化”引入约束的办法？实际上当然存在这样的办法，我们将上面的式子改写成
     
   这样，要使得上式取极值，就必须有
     这恰好就给出了约束方程
     .这种引入约束的方法在泛函的分析中尤为重要，它一般被称作拉格朗日乘子法。
  
 对于矢量函数或者张量函数，定义域中每一个位置除了定义出了值域中的一个数值之外，还定义出了在这个数值上的方向。这样定义出来的“东西”几何上已经不是曲线，曲面或者某个怪异几何体了。它有个非常数学化的称呼：纤维丛。关于纤维丛的概念，已经超出了本文的讨论范围，暂时不表。

4. 泛函分析

5. 泛函分析中有哪些收敛

比如x和y是banach空间，m和m_n：x-->y是线性算子，n=1，2，……
如果对于任何x
in
x，y
in
y^*（y的对偶空间），有收敛到（这个是在实数或者复数域内），那么称为m_n弱收敛到m。
如果对于任何x
in
x，有m_n
x收敛到mx（按x中的范数），那么称为m_n强收敛到m。
所有的m_n和m都是l(x,y)中的元素，而l(x,y)本身也有范数，如果在这个范数下，m_n收敛到m，那么称为依范数收敛。
稍注意一下，以上三种收敛都是指
『算子』
的收敛。（如果只是给了一个banach空间的话，其中元素的收敛只有强弱两种）
对于这三种收敛，依范数收敛可以推出强收敛，强收敛可以推出弱收敛。一般情况下都不能反过来。

6. 什么是函数收敛性

函数收敛是由对函数在某点收敛定义引申出来的
函数在某点收敛，是指当自变量趋向这一点时，其函数值的极限就等于函数在该点的值
若函数在定义域的每一点都收敛，则通常称函数是收敛的
有界和收敛不一样，有界就是说函数的值的绝对值总是小于某个数
有界和收敛的关系如下：
收敛肯定是有界的，
但是有界却不一定收敛，比如f(x)恒等与1，但是f(0)=2，则函数在0这点就不是收敛的

7. 什么是泛函分析？怎么理解简单一些

以认为学简单的泛函分析不需要实变函数的基础，简单的代数和拓扑知识更有用，稍复杂一些的泛函分析则最好是各科基础都需要，一来很多技术手段是差不多的，二来泛函分析比较抽象，各种例子都会帮助理解，所以即使是学简单的泛函分析也最好先对别的课程有所了解，否则虽然完全可以学但不见得理解得很深入。

对于实分析的不适应也许是数学分析和复分析接触得太多了一时间无法转变思维方式，这个习惯了就好，多从高层次去理解证明的主线而非细节。实变函数和泛函分析这种课程本科就应该或多或少讲过一些了，怎么会到研究生才开始学呢？晚是晚了一点，不过再困难也得慢慢啃下来，否则这些思想的缺失会影响到进一步的学习和研究。追问实变我们本科开过，但是那时只顾准备考研了，实变学的很浅很浅，期末考试靠划题。泛函我们本科压根没开过。。。现在该读研了，老师让看这些，现在就愁了，整天恶补，但是还是晕乎的。真想学，也认真自学了，但总有雾里看花的感觉。好象会又好象什么都不会。。。
做梦都是做题，真的。。。
请问学泛函还要会拓补？天啊。。。本来只愁实变，现在还要再恶补拓补。。。
加油吧，慢慢学吧。。。

8. 什么是函数收敛性

函数收敛是由对函数在某点收敛定义引申出来的
函数在某点收敛，是指当
自变量
趋向这一点时，其
函数值
的极限就等于函数在该点的值
若函数在
定义域
的每一点都收敛，则通常称函数是收敛的
有界和收敛不一样，有界就是说函数的值的绝对值总是小于某个数
有界和收敛的关系如下：
收敛肯定是有界的，
但是有界却不一定收敛，比如f(x)恒等与1，但是f(0)=2，则函数在0这点就不是收敛的