一元线性回归法的概念

1. 一元线性回归法的概念

如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。详细原理这里就不细说了，具体参照线性回归。 我们以一简单数据组来说明什么是线性回归。假设有一组数据型态为 y=y(x)，其中x={0, 1, 2, 3, 4, 5}, y={0, 20, 60, 68, 77, 110}如果我们要以一个最简单的方程式来近似这组数据，则非一阶的线性方程式莫属。先将这组数据绘图如下图中的斜线是我们随意假设一阶线性方程式 y=20x，用以代表这些数据的一个方程式。以下将上述绘图的 MATLAB 指令列出，并计算这个线性方程式的 y 值与原数据 y 值间误差平方的总合。>> x=[0 1 2 3 4 5];>> y=[0 20 60 68 77 110];>> y1=20*x; % 一阶线性方程式的 y1 值>> sum_sq = sum((y-y1).^2); % 误差平方总和为 573>> axis([-1,6,-20,120])>> plot(x,y1,x,y,'o'), title('Linear estimate'), grid如此任意的假设一个线性方程式并无根据，如果换成其它人来设定就可能采用不同的线性方程式；所以我们必须要有比较精确方式决定理想的线性方程式。我们可以要求误差平方的总和为最小，做为决定理想的线性方程式的准则，这样的方法就称为最小平方误差(least squares error)或是线性回归。MATLAB的polyfit函数提供了 从一阶到高阶多项式的回归法，其语法为polyfit(x,y,n)，其中x,y为输入数据组n为多项式的阶数，n=1就是一阶 的线性回归法。polyfit函数所建立的多项式可以写成从polyfit函数得到的输出值就是上述的各项系数，以一阶线性回归为例n=1，所以只有 二个输出值。如果指令为coef=polyfit(x,y,n)，则coef(1)= , coef(2)=,...,coef(n+1)= 。注意上式对n 阶的多 项式会有 n+1 项的系数。我们来看以下的线性回归的示范：>> x=[0 1 2 3 4 5];>> y=[0 20 60 68 77 110];>> coef=polyfit(x,y,1); % coef 代表线性回归的二个输出值>> a0=coef(1); a1=coef(2);>> ybest=a0*x+a1; % 由线性回归产生的一阶方程式>> sum_sq=sum(y-ybest).^2); % 误差平方总合为 356.82>> axis([-1,6,-20,120])>> plot(x,ybest,x,y,'o'), title('Linear regression estimate'), grid线性回归拟合方程 一般来说，线性回归都可以通过最小二乘法求出其方程，可以计算出对于y=bx+a的直线，其经验拟合方程如下：其相关系数（即通常说的拟合的好坏）可以用以下公式来计算： 虽然不同的统计软件可能会用不同的格式给出回归的结果，但是它们的基本内容是一致的。我们以STATA的输出为例来说明如何理解回归分析的结果。在这个例子中，我们测试读者的性别（gender），年龄（age），知识程度（know）与文档的次序（noofdoc）对他们所觉得的文档质量(relevance)的影响。输出：Source | SS df MS Number of obs = 242-------------+------------------------------------------ F ( 4, 237) = 2.76Model | 14.0069855 4 3.50174637 Prob > F = 0.0283Residual | 300.279172 237 1.26700072 R-squared = 0.0446------------- +------------------------------------------- Adj R-squared = 0.0284Total | 314.286157 241 1.30409194 Root MSE = 1.1256------------------------------------------------------------------------------------------------relevance | Coef. Std. Err. t P>|t| Beta---------------+--------------------------------------------------------------------------------gender | -.2111061 .1627241 -1.30 0.196 -.0825009age | -.1020986 .0486324 -2.10 0.037 -.1341841know | .0022537 .0535243 0.04 0.966 .0026877noofdoc | -.3291053 .1382645 -2.38 0.018 -.1513428_cons | 7.334757 1.072246 6.84 0.000 .------------------------------------------------------------------------------------------- 一般地，我们要求这个值大于5%。对大部分的行为研究者来讲，最重要的是回归系数。我们看到，年龄增加1个单位，文档的质量就下降 -.1020986个单位，表明年长的人对文档质量的评价会更低。这个变量相应的t值是 -2.10，绝对值大于2，p值也<0.05，所以是显著的。我们的结论是，年长的人对文档质量的评价会更低，这个影响不是显著的。相反，领域知识越丰富的人，对文档的质量评估会更高，但是这个影响不是显著的。这种对回归系数的理解就是使用回归分析进行假设检验的过程。

2. 一元线性回归的基本思想是?

一元线性回归方程：表示为Y=A BX的方程

3. 一元线性回归方程

7.40231 + 0.899019 x

4. 一元线性回归法的介绍

如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。

5. 一元线性回归方程怎么求？

1. 列计算表，求∑x，∑xx，∑y，∑yy，∑xy。 
　　2.计算Lxx，Lyy，Lxy 
　　Lxx=∑(x-xˇ)(x-xˇ) 
　　Lyy=∑(y-yˇ)(y-yˇ) 
　　Lxy=∑(x-xˇ)(y-yˇ) 
　　3.求相关系数，并检验； 
　　r = Lxy /( Lxx Lyy)1/2 
　　2. 求回归系数b和常数a； 
　　b=Lxy /Lxx 
　　a=y - bx 
　　3. 列回归方程。

6. 一元线性回归分析的基本步骤

一元线性回归分析的基本步骤如下：
1、散点图判断变量关系（简单线性）；
2、求相关系数及线性验证；
3、求回归系数，建立回归方程；
4、回归方程检验；
5、参数的区间估计；
6、预测；

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一、什么是回归分析法
“回归分析”是解析“注目变量”和“因于变量”并明确两者关系的统计方法。此时，我们把因子变量称为“说明变量”，把注目变量称为“目标变量址(被说明变量)”。清楚了回归分析的目的后，下面我们以回归分析预测法的步骤来说明什么是回归分析法：
回归分析是对具有因果关系的影响因素（自变量）和预测对象（因变量）所进行的数理统计分析处理。
只有当变量与因变量确实存在某种关系时，建立的回归方程才有意义。因此，作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是否有关，相关程度如何，以及判断这种相关程度的把握性多大，就成为进行回归分析必须要解决的问题。
进行相关分析，一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变量和因变量的相关的程度。 
二、回归分析的目的 
回归分析的目的大致可分为两种：
第一，“预测”。预测目标变量，求解目标变量y和说明变量(x1，x2，…)的方程。
y=a0+b1x1+b2x2+…+bkxk+误差（方程A）
把方程A叫做(多元)回归方程或者(多元)回归模型。a0是y截距，b1，b2，…，bk是回归系数。当k=l时，只有1个说明变量，叫做一元回归方程。根据最小平方法求解最小误差平方和，非求出y截距和回归系数。若求解回归方程．分别代入x1，x2，…xk的数值，预测y的值。
第二，“因子分析”。因子分析是根据回归分析结果，得出各个自变量对目标变量产生的影响，因此，需要求出各个自变量的影响程度。 
希望初学者在阅读接下来的文章之前，首先学习一元回归分析、相关分析、多元回归分析、数量化理论I等知识。
根据最小平方法，使用Excel求解y=a+bx中的a和b。

7. 求解：一元线性回归方程

步骤： 　　
1. 列计算表，求∑x，∑xx，∑y，∑yy，∑xy。 　　
2.计算Lxx，Lyy，Lxy 　　
Lxx=∑(x-xˇ)(x-xˇ) 　　
Lyy=∑(y-yˇ)(y-yˇ) 　　
Lxy=∑(x-xˇ)(y-yˇ) 　　
3.求相关系数，并检验； 　　r = Lxy /( Lxx Lyy)1/2 　
2. 求回归系数b和常数a； 　　b=Lxy /Lxx 　　a=y - bx 　　
3. 列回归方程。

8. 一元线性回归方程怎么求？

1.
列计算表，求∑x，∑xx，∑y，∑yy，∑xy。
　　2.计算Lxx，Lyy，Lxy
　　Lxx=∑(x-xˇ)(x-xˇ)
　　Lyy=∑(y-yˇ)(y-yˇ)
　　Lxy=∑(x-xˇ)(y-yˇ)
　　3.求相关系数，并检验；
　　r
=
Lxy
/(
Lxx
Lyy)1/2
　　2.
求回归系数b和常数a；
　　b=Lxy
/Lxx
　　a=y
-
bx
　　3.
列回归方程。