绝对收敛一定收敛吗？

1. 绝对收敛一定收敛吗？

级数绝对收敛，级数必定收敛。条件收敛有一个要求是加绝对值级数发散。所以级数绝对收敛了就不可能是条件收敛。
绝对收敛与条件收敛是不同的，两者不能同时成立。
绝对收敛是指对级数∑un而言∑|un|收敛。
条件收敛是∑un收敛但是∑|un|发散。



一个收敛的级数，如果在逐项取绝对值之后仍然收敛，就说它是绝对收敛的；否则就说它是条件收敛的。
简单的比较级数就表明，只要∑|un|收敛就足以保证级数收敛;因而分解式(不仅表明∑|un|的收敛隐含着原级数∑un的收敛，而且把原级数表成了两个收敛的正项级数之差。

由此易见，绝对收敛级数同正项级数一样，很像有限和，可以任意改变项的顺序以求和，可以无限分配地相乘。

2. 如果收敛，那是绝对收敛还是条件收敛

答案：条件收敛。由于
求和(n=1到无穷)1/n^2收敛，求和（n=1到无穷）(-1)^(n-1)/根号(n)
用Leibniz判别法知道是收敛的，因此也收敛。故原级数收敛。
但通项加绝对值后
|1/n^2+(-1)^(n-1)/根号n)|>=1/根号(n)--1/n^2，
而级数（n=1到无穷）1/根号(n)发散，
故级数（n=1到无穷）【1/根号(n)--1/n^2】发散，
于是原级数不绝对收敛。

3. 为何收敛一定绝对收敛，但条件收敛不一定呢？

首先理解收敛：
令∑un = S，如果lim（n->∞）S存在一个确定的值，则级数收敛
现在我们来考量绝对收敛：
由绝对值的性质来考量，|un| >= un恒成立，且∑|un| >= ∑un,根据比较审敛法的观点来看，若∑|un|收敛，则原级数一定收敛。又由于正项级数通常都比较好判断收敛性，所以在考察级数收敛与否时通常都是先考察是否绝对收敛的。
关于条件收敛：
既然有了绝对收敛，为何又有条件收敛呢？莱布利兹判断准则告诉我们，对于交错级数，只要满足lim（n->∞）un趋于0，且后一项小于前一项就可以证明级数收敛了。我们知道∑1/n是发散的，但∑（-1）^n.1/n却是收敛的，所以条件收敛相当于弥补了一些绝对收敛没有涉及的地方，绝对收敛相当于只把级数看成正项级数来考量了，相当于缩小了相应的范围，条件收敛正好弥补了绝对收敛没有考察到的地方，将范围扩大了一些。

4. 判断其是否收敛，如果是收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)[n/(n+1)]^(1/2)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。又，lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=lim(n→∞)丨x丨/R<1，∴-1

5. 判断敛散性，绝对收敛还是条件收敛

如图所示：

6. 求是收敛还是发散，若是收敛是绝对收敛还是条件收敛

如图所示：

7. 判断敛散性，绝对收敛还是条件收敛

8. 判定收敛。若收敛，是条件收敛还是绝对收敛。