什么是线性预测

1. 什么是线性预测

线性预测是根据已有采样点按照线性函数计算未来某一离散信号的数学方法。
在数字信号处理中，线性预测经常称为线性预测编码（LPC），因此也可以看作是数字滤波器的一部分。在系统分析中，线性预测可以看作是数学建模或者最优化的一部分
最常见的表示是
其中  是预测的信号值， 是前面观测到的值， 是预测系数。这种预测产生的误差是
其中  是真正的信号值。
这个等式对于所有类型的一维线性预测都是有效的，它们的不同之处是参数  选择方式的不同。
对于多维信号，误差经常定义为
其中  是适当选择的矢量范数。
在参数  优化中最常见的选择是均方根准则，也称为自相关准则。在这种方法中减小了最小均方误差 E[e2(n)] 的期望值，这样就得到等式
对于 1 ≤ j ≤ p, 其中 R 是信号 xn 的自相关，定义为
其中 E 是 期望值。在多维情况下，这相当于最小化L2 范数。
上面的方程称为 normal 方程或者 Yule-Walker 方程，在矩阵形式下这个方程也可以写作
其中自相关矩阵 R 是元素为ri,j = R(i − j)的对称轮换矩阵（en:circulant matrix），矢量 r 是自相关矢量 rj = R(j)，矢量 a 是参数矢量。
另外一个更为通用的实现是最小化
其中通常使用  约束参数  以避免 trivial 解。这个约束产生与上面同样的预测，但是 normal 方程是
其中索引 i 的范围是从 0 到 p，并且 R 是 (p + 1) × (p + 1) 矩阵。
参数优化是一个非常广泛的话题，人们已经提出了大量的其它实现方法。
但是，自相关方法仍然是最为常用的方法，例如在GSM标准中的语音编码就在使用这种方法。
矩阵方程Ra = r的求解计算上工作量很大，高斯消去法求矩阵的逆可能是最为古老的解法了，但是这种方法没有有效地利用 R 和 r 的对称性。一种更快的算法是 Norman Levinson 在1947年提出的Levinson 递归法（en:Levinson recursion），它递归地计算方程的解。后来 Delsarte et al.  提出了一种称为 split Levinson recursion 的改进方法，它仅需要一半的乘除计算量，它在随后的递归层面上使用了参数矢量的特殊对称特性。

2. 线性预测的进一步讨论

将AR（k）模型参数｛aki｝看成一个序列（这里i=0，1，…，k），进行Z变换，得

地球物理信息处理基础

该多项式的倒序记为  ，有

地球物理信息处理基础

在Levinson算法中，由AR（k）的参数｛aki｝计算AR（k+1）的参数｛ak+1，i｝的递推公式（4-24），经Z变换后，可得下式

地球物理信息处理基础

相应的倒序多项式为

地球物理信息处理基础

将上二式写成矩阵形式

地球物理信息处理基础

该式是由低阶k到高阶k+1进行递推运算的，称为前向递推运算。
x（n）经预测误差滤波器Ak（z）后得到输出  ，称为前向预测误差，由式（4-40）得

地球物理信息处理基础

其Z变换形式为

地球物理信息处理基础

前向预测是由｛x（n-1），x（n-2），…，x（n-k）｝预测x（n）。而由｛x（n-k+1），x（n-k+2），…，x（n）｝“预测”x（n-k）称为后向预测，后向预测值为（参照式（4-40））

地球物理信息处理基础

后向预测误差定义为

地球物理信息处理基础

上式中若用k-i代替i，则得

地球物理信息处理基础

其Z变换形式为

地球物理信息处理基础

式（4-65）表明，前向预测误差是由数据｛x（n），x（n-1），…，x（n-k）｝通过单位冲激响应为｛1，ak1，…，akk｝的预测误差滤波器Ak（z）产生的输出。而式（4-69）说明，后向预测误差是由数据｛x（n），x（n-1），…，x（n-k）｝通过单位冲激响应为｛akk，ak，k-1，…，ak2，ak1，1｝的滤波器  产生的输出。p阶前向预测和后向预测之间的关系和差别如图4-6所示。它们使用的虽然是同一组权系数，但系数的排列顺序正好相反。可以证明，若按前向预测误差功率最小准则来计算线性预测系数，那么这组系数对后向预测也是最佳的，或者说也使后向预测误差功率最小。

图4-6 前向预测和后向预测示意图

将式（4-64）左右两端乘以X（z），即

地球物理信息处理基础

并利用式（4-66）和式（4-70），得到

地球物理信息处理基础

上式对应的时域关系式为

地球物理信息处理基础

这就是前向、后向预测误差递推计算公式，递推是从k=0开始的，此时让  =1，所以有

地球物理信息处理基础

式（4-72）的信号流程图如图4-7所示，这便是预测误差滤波器的格型结构，称之为格型分析滤波器。由式（4-66）和式（4-70）可知，x（n）经传输函数为Ak（z）的滤波器后得到的输出为  ，经传输函数为  的滤波器后得到的输出为  。现在用格型滤波器可由

图4-7 线性预测的Lattice结构

x（n）同时得到  和  。在图4-7中，  ，因此，可以认为  经过格型滤波器后得到的输出为  。
格型滤波器最重要的两个性质是：
（1）各级参数（反射系数）的模值小于1，一般情况下可保证滤波器稳定；
（2）级间是“去耦”的，因此，当各级分别调至最佳时可以使滤波器达到全局最佳。