热传导方程式的热传导

1. 热传导方程式的热传导

2. 热传导方程

热传导方程（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。

1、热传导方程的导出:
模型: 给定一空间内物体G，设其上的点(x，y，z) 
在时刻t的温度为 u(x,y,z,t)。
问题: 研究温度u(x，y,z,t)的运动规律。

2、温度时间空间：
在其中：u=u(t,x,y,z)表温度，它是时间变化t与空间变化（x，y，z）的涵数；k是热扩散系数率，决策于原材料的热传导率，相对密度与比热容。
3、唯一解
假如考虑到的物质并不是全部空间，则为了更好地获得方程式的唯一解，务必选定u的初始条件。假如物质是全部空间，为了更好地获得唯一性，务必假设解的增长速度有一个指数型的上界，此假设符合试验结果。
热方程式操纵导热以及它对外扩散全过程，例如颗粒对外扩散或神经元细胞的动作电势差。热方程式还可以做为一些金融业状况的实体模型，例如布莱克-斯科尔斯实体模型与Ornstein-Uhlenbeck全过程。

3. 热传导方程

  齐次热传导方程 ：           非齐次热传导方程 ：     
   当物体体积很大，考虑时间很短和较小范围内的温度变化情况，边界条件所产生的影响可以忽略，这时就不放吧考察的物体视为充满整个空间，而定解问题就成为 柯西问题 ，此时初始条件为
     
    扩散方程         称为 扩散系数 ，总取正值.
   扩散方程为     
   如果    是常数，记   ，扩散方程就化为与热传导方程完全相同的形式.
   初边值问题:     
      为正常数.
   Sol: 分离变量法   令        代入方程有          于是          只有两边均等于常数时才成立. 令此常数为   ，则有
            
   由边界条件得     
   当    时，只有平凡解        当    时，
     
   利用边界条件    得   ，利用第二个边界条件知
          为使    为非平凡解，   应满足
     
   即    应是下述超越方程的正解：     
   令
     
   则变为   
   可知有无穷多个正根   ，满足   .
          及相应的固有函数
     
   同样可以解得   
   于是得到一列可分离变量的特解
     
   用叠加原理构造级数形式的解
     
   又   
     
     
   于是得到     
   于是得到初边值问题        的形式解为
     
   设    是定义在    上的函数，它在    上有异界连续导数，则在    中    可以展开为傅里叶级数
     
   并且
                   
          该积分表达式称为    的 傅里叶积分 .
     
   称    为    的 傅里叶变换 ，记为   
          称    为    的 傅里叶逆变换 ，记为   .
   当    在    上连续可导且绝对可积时，它的傅里叶变换存在，且逆变换等于   .
    性质 1   线性变换          其中   ，   为函数.
   如果对给定的   ，当    时，
          存在，则称    为    与    的 卷积 ，记为   . 显然，当    为绝对可积时，  ，即卷积是可以交换的.
    性质 2          和    的卷积的傅里叶变换等于    和    的傅里叶变换的乘积，即     
    性质 3         和    乘积的傅里叶变换等于    和    的傅里叶变换的卷积乘以   ，即
     
    性质 4 
   如果    都是可以进行傅里叶变换的，而且当    时，  ，则成立
     
    性质 5 
   如果    及    都可以进行傅里叶变换，那么     
   热传导方程柯西问题的求解
     
   解为
     
   也成为泊松公式.
   非齐次热传导方程的柯西问题
     
   解为
     
   由叠加原理可以得到柯西问题的解为
     
   的解为
     
   第一类边值问题中：
     
   热传导方程的初边值问题
     
   在区域    上的解是唯一的，而且连续地依赖于边界    上所给定的初始条件及边界条件.
   对任意给定的   ，热传导方程的初边值问题在    上的解是唯一的，且连续地依赖于初值    以及边界条件中的函数   .
   柯西问题
     
   在有界函数类中的解是唯一的，而且连续依赖于所给的初始条件.
   假设初始函数    满足    则当    趋于无穷时，问题          的唯一的经典解指数衰减地趋于零，确切地说，当    时，对一切   ，
     
   其中    为一个与解无关的正常数.
   这个唯一经典解是
     
   如果    收敛，则称   ，并记
     
   设    是由解连续函数，且   ，则柯西问题
     
   的唯一经典解具有如下的渐近性态：对一切   ，当    时，一致地连续     
   其中    为一个仅与    及    有关的正常数.

4. 热传导方程的介绍

热传导方程  研究热传导过程的一个简单数学模型。

5. 热传导方程式的介绍

热传导方程式（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用方程式表达，其中u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。 /是空间中一点的温度对时间的变化率。 uxx, uyy 与 uzz 温度对三个空间坐标轴的二次导数。k决定于材料的热传导率、密度与热容。如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程唯一解，必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

6. 热传导方程式的简介

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式其中的 Δ 是对空间变量的拉普拉斯算子。热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。

7. 热传导方程式的应用

热方程在许多现象的数学模型中出现，而且常在金融数学中作为期权的模型出现。著名的布莱克-斯科尔斯模型中的差分方程可以转成热方程，并从此导出较简单的解。许多简单期权的延伸模型没有解析解，因此必须以数值方法计算模型给出的定价。热方程可以用 Crank-Nicolson 法有效地求数值解，此方法也可用于许多无解析解的模型（详见文献 Wilmott，1995）。热方程在流形上的推广是处理阿蒂亚-辛格指标定理的主要工具之一，由此也导向热方程在黎曼几何中的许多深入应用。

8. 热传导方程式的解热方程

在理想状态下一根棍子的热传导，配上均匀的边界条件。方程式如下：其中u=u(t,x) 是t和x的双变量函数。x是空间变量，所以x∈ [0,L]，其中L表示棍子长度。t是时间变量，所以t≥ 0。 假设下述初始条件其中函数f是给定的。再配合下述边界条件让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件 (3) 并具备以下形式：这套技术称作分离变量法。现在将u代回方程式 (1)，由于等式右边只依赖x，而左边只依赖t，两边都等于某个常数 − λ，于是：以下将证明 (6) 没有 λ ≤ 0 的解：假设 λ  0，此时存在实数A、B、C使得 从等式 (3) 可知C= 0，因此存在正整数n使得 由此得到热方程形如 (4) 的解。一般而言，满足 (1) 与 (3) 的解相加后仍是满足 (1) 与 (3) 的解。事实上可以证明满足 (1)、(2)、(3) 的解由下述公式给出。