概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结

1. 概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结

概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结

解题方法总结
解题方法总结
2019年12月31日
随机变量的独立性：如果对任意x,y都有P{X<=x,Y<=y}=P{X<=x}P{Y<=y}，即F(x,y)=Fx(x)Fy(y)，则称随机变量X与Y相互独立。

随机变量相互独立充要条件：

（1）离散型随机变量X和Y相互独立的充要条件：

概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结
离散型随机变量相互独立的充要条件

（2）连续型随机变量X和Y相互独立的充要条件：

概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结
连续型随机变量相互独立的充要条件

题型一：离散型随机变量相互独立的判定

例1：

概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结
解题思路：本题先求出联合分布，在判断独立性时，若联合分布有零元，但边缘分布不全为零，则随机变量不独立。

解：由题意得：

概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结
题型二：连续性随机变量独立性得判定

例2：

概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结
解题思路：先求出边缘密度函数，再利用f(X,Y)是否等于边缘密度函数的乘积。

解：由题意得：

2. 概率统计联合分布律一题，谢谢

过程与结果如图所示

3. 概率论与数理统计的独立性问题方法总结

概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结

解题方法总结
解题方法总结
2019年12月31日
随机变量的独立性：如果对任意x,y都有P{X<=x,Y<=y}=P{X<=x}P{Y<=y}，即F(x,y)=Fx(x)Fy(y)，则称随机变量X与Y相互独立。

随机变量相互独立充要条件：

（1）离散型随机变量X和Y相互独立的充要条件：

概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结
离散型随机变量相互独立的充要条件

（2）连续型随机变量X和Y相互独立的充要条件：

概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结
连续型随机变量相互独立的充要条件

题型一：离散型随机变量相互独立的判定

例1：

概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结
解题思路：本题先求出联合分布，在判断独立性时，若联合分布有零元，但边缘分布不全为零，则随机变量不独立。

解：由题意得：

概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结
题型二：连续性随机变量独立性得判定

例2：

概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结
解题思路：先求出边缘密度函数，再利用f(X,Y)是否等于边缘密度函数的乘积。

解：由题意得：

4. 已知(x,y)的联合概率分布 判断X,Y 是否相关 是否独立

(1)X的边缘分布律为：
X -2 -1 1 2
P 1/4 1/4 1/4 1/4
Y的边缘分布律为：
Y 1 4
P 1/2 1/2
易求得，E(X)=0，E(Y)=5/2，
E(XY)=-2·4·1/4+(-1)·1·1/4+1·1·1/4+2·1·1/4=0
∵Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)·E(Y)=0
∴X与Y不相关。
(2)P(X=-2，Y=1)=0≠P(X=-2)·P(Y=1)
∴X与Y不相互独立。
随机变量X和Y的联合分布函数是设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数：F(x,y) = P{(X P(X<=x, Y<=y)称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。

扩展资料：  
对离散随机变量 X， Y 而言，联合分布概率密度函数如下：

。因为是概率分布函数，所以必须满足以下条件：

类似地，对连续随机变量而言，联合分布概率密度函数为fX,Y(x, y)，其中fY|X(y|x)和fX|Y(x|y)分别代
表X = x时Y的条件分布以及Y = y时X的条件分布；fX(x)和fY(y)分别代表X和Y的边缘分布。 
同样地，因为是概率分布函数，所以必须有：∫x∫y fX,Y(x,y) dy dx=1
参考资料来源：百度百科-联合分布    

5. 已知随机变量X和Y的联合概率求联合分布函数

F(x, y) = P ( X<=x , Y<=y)。上式表明x积分区域只能是（-无穷，x）、y的积分区域是（-无穷，y）。

扩展资料：
在许多生产实际与理论研究中，一个随机现象常常需要同时用几个随机变量去描述，例如，晶体管放大器中某一时刻的噪声电流就要用随机振幅和随机相位两个随机变量来表征。
又如当一个确定的正弦信号，经过随机起伏信道传输后，到达接收点时其振幅、相位和角频率已不再是确定的了，而变成随机参数。
这时的信号在某一时刻就要用三个随机变量来描述。如此可以推广到”个随机变量的情况。我们称n个随机变量X1，X2，…，Xn的总体X=(X1，X2，…，Xn)为n维随机变量(或n元随机变量)，或称n维随机矢量。显然，一维随机矢量即为随机变量。
随机矢量X的性质不仅由单个随机变量X1，X2，…，Xn的性质所决定，而且还应由这些随机变量的相互关系所决定。
类似于一维的场合，我们引进如下定义。
称n元函数：

为n维随机矢量X=((X1，X2，…，Xn)的联合分布函数。它表示事件X1<x1，X2<x2。，…，Xn<xn同时出现的概率。
参考资料来源：百度百科-联合分布函数

6. 大学概率论与数理统计中的问题：已知随机变量(x,y)的分布函数,怎么证明x和y相互独立，

令y趋于正无穷大得X的分布函数F_X(x)=)=(1-e^-x),x>0,F_X(x)=0,x<0
令x趋于正无穷大得Y的分布函数F_Y(y)=y,0<=y<=1,,F_Y(y)=0,其它
从而知联合分布函数F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)，于是x,y相互独立

7. 已知(x,y)的联合概率分布 判断X,Y 是否相关 是否独立

(1)X的边缘分布律为：
X -2 -1 1 2
P 1/4 1/4 1/4 1/4
Y的边缘分布律为：
Y 1 4
P 1/2 1/2
易求得，E(X)=0，E(Y)=5/2，
E(XY)=-2·4·1/4+(-1)·1·1/4+1·1·1/4+2·1·1/4=0
∵Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)·E(Y)=0
∴X与Y不相关。
(2)P(X=-2，Y=1)=0≠P(X=-2)·P(Y=1)
∴X与Y不相互独立。
根据随机变量的不同，联合概率分布的表示形式也不同。对于离散型随机变量，联合概率分布可以以列表的形式表示，也可以以函数的形式表示；对于连续型随机变量，联合概率分布通过非负函数的积分表示。

扩展资料：
如果X是由全部实数或者由一部分区间组成，则称X为连续随机变量，连续随机变量的值是不可数及无穷尽的。随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量，当要求随机变量的概率分布的时候，要分别处理。
如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。
类似地，对连续随机变量而言，联合分布概率密度函数为fX,Y(x, y)，其中fY|X(y|x)和fX|Y(x|y)分别代表X = x时Y的条件分布以及Y = y时X的条件分布；fX(x)和fY(y)分别代表X和Y的边缘分布。
参考资料来源：百度百科——联合概率分布

8. 独立同分布（大学概率论与数理统计）

你好，我先把你的问题缕下哈：
独立同分布：首先独立的问题，高中就学过，对于AB来说若P（AB）=P(A)P(B)则说明AB独立，同分布很好理解，他们都是服从同一个分布，也就是说明他们的概率分布是一样的。所以独立同分布简单来说就是他们之间相互独立+满足同一个分布。二项分布只是一种独立同分布而已。所以不要整晕了
中心极限定理：他重点想说的是，每次事件都抽取一次，每个事件独立很显然，因为抽取不会影响到下一次，都是同一个样本抽取，所以同分布，中心极限定理想说明的就是，当样本个数趋紧于无穷大的时候，这个样本的均值服从正态分布，仅此而已。这也就是说明生活中很多地方都是服从正态分布的。
二项分布（n充伯努利试验）与独立同分布是什么关系？二项分布的一个典型例子就是，又放回的抽取东西，所以独立同分布是他的性质而已

若你还有不懂得，欢迎继续问，谢谢合作(*^__^*)