球体积求导得球面积公式有什么联系

1. 球体积求导得球面积公式有什么联系

R增加ΔR﹙小﹚,ΔV＝球壳体积,ΔV/ΔR≈球面积S,∴V'﹙对R﹚＝球面积S.

2. 求导球的体积公式

V=4/3πR³
(V)'|R=(4/3)*3πR²=4πR²=大圆面积

3. 求导球的体积公式

V=4/3πR³
  (V)'|R=(4/3)*3πR²=4πR²=大圆面积

4. 球体积公式怎么推导出来的

证明：
证：v=4/3×πr^3
欲证v=4/3×πr^3，可证1/2v=2/3×πr^3
做一个半球h=r, 做一个圆柱h=r

∵V柱-V锥
= π×r^3- π×r^3/3
=2/3π×r^3
∴若猜想成立，则V柱-V锥=V半球
根据祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个立体图形，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果所得的两个截面面积相等，那么，这两个立体图形的体积相等。
∴若猜想成立，两个平面：S1(圆)=S2(环)
1.从半球高h点截一个平面 根据公式可知此面积为π×(r^2-h^2)^0.5^2=π×(r^2-h^2)
2.从圆柱做一个与其等底等高的圆锥：V锥 根据公式可知其右侧环形的面积为π×r^2-π×r×h/r=π×(r^2-h^2)
∵π×(r^2-h^2)=π×(r^2-h^2)
∴V柱-V锥=V半球
∵V柱-V锥=π×r^3-π×r^3/3=2/3π×r^3
∴V半球=2/3π×r^3
由V半球可推出V球=2×V半球=4/3×πr^3
证毕。
扩展资料：
球体性质，用一个平面去截一个球，截面是圆面。球的截面有以下性质：
1、球心和截面圆心的连线垂直于截面。
2、球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r^2=R^2-d^2
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。
在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。
参考资料来源：百度百科-球

5. 如何推导球的面积公式

球体面积公式S=4πR²
√表示根号
把一个半径为R的球的上半球横向切成n（无穷大）份， 每份等高
并且把每份看成一个类似圆台，其中半径等于该类似圆台顶面圆半径
则从下到上第k个类似圆台的侧面积


其中r(k)=√[R^2-﹙kh）^2],
h=R^2/{n√[R^2-﹙kh）^2}.
S(k)=2πr(k)h=(2πR^2)/n则 S=S(1)+S(2)+……+S(n)= 2πR^2;
乘以2就是整个球的表面积 4πR^2;

6. 球的体积公式推导过程

为了让数学界的同行对球体公式的推导方法和过程能够进一步了解，免得往后对我(魏德武）产生质疑，现将二种球体推导的方法和过程都一一展示出来：
一，第一种从“下而上”不足近似值逼近（比实际值小）准确值推导法：设球的半径为R，半球体高的平分数为n；r1,r2,r3----rn分别为各不同圆柱饼的半径，具体推算步骤如下：根据直角三角形定理，先求出每个圆柱饼的半径得：（1）r1=根号R^2-(R/n)^2,r2=根号R^2-(2R/n)^2,r3=根号R^2-(3R/n)^2-----rn=根号R^2-(nR/n)^2.(2)然后再求出每个圆柱饼的体积之和：V=V1+V2+V3------=πR/n{R^2-(R/n)^2}+πR/n{R^2-(2R/n)^2}+πR/n{R^2-(3R/n)^2}---++----πR/n{R^2-(nR/n)^2}=πR^3/n(1-1^2/n^2+1-2^2/n^2+1-3^2/n^2----+1-n^2/n^2)=πR^3/n{n-(1^2+2^2+3^2--+--n^2)/n^2}=πR^3/n{n-n(n+1)(2n+1)/6n^2=πR^3{1-(2n^2+3n+1)/6n^2}=πR^3{1-(2+3*1/n+1/n^2)/6}=πR^3{1-(1+1/n)(2+1/n)/6}（注：当n取无穷大时1/n趋向于0)得半球的体积V=4/6πR^3后再乘以2。即：整球的体积公式V=4/3πR^3。
二，第二种从“上而下”过剩近似值逼近（比实际值大）准确值推导法：设球的半径为R，半球体高的平分数为n；r1,r2,r3----rn分别为各不同圆柱饼的半径，具体推算步骤如下：根据直角三角形定理，先求出每个圆柱饼的半径得：(一），（1）r1=根号R^2-(R-R/n)^2,（2）r2=根号R^2-(R-2R/n)^2,(3)r3=根号R^2-(R-3R/n)^2---++---（n）rn=根号R^2-(R-nR/n)^2，（二）再求出每个圆柱饼的体积之和：V=V1+V2+V3------=πR/n{R^2-(R-R/n)^2}+πR/n{R^2-(R-2R/n)^2}+πR/n{R^2-(R-3R/n)^2}---++----πR/n{R^2-(R-nR/n)^2}=πR^3/n{2/n-(1/n)^2}+πR^3/n{2×2/n-(2/n)^2}+πR^3/n{2×3/n-(3/n)^2}+πR^3/n{2n/n-(n/n)^2}=πR^3/n{2×(1+2+3--+--n)/n-(1^2+2^2+3^2---++-n^2)/n^2}=πR^3/n{n(n+1)/n-n(n+1)(2n+1)/6n^2}=πR^3{(n^2+n)/n^2-(2n^2+3n+1)/6n^2}=πR^3(6n^2+6n-2n^2-3n-1)/6n^2=πR^3(4n^2+3n-1)/6n^2=πR^3{（4+3/n-(1/n)^2)}/6=πR^3（4-1/n)(1+1/n)/6.（注：当n取无穷大时1/n趋向于0)得半球的体积V=4/6πR^3，最后再乘以2，得：整球的体积公式V=4/3πR^3。综上所述：事实证明二种推导结果完全一致，只是前者较为简单，后者更为复杂而已，建议学生还是采用前者更便捷！。

7. 球的表面积公式的推导过程？

公式证明

　　√表示根号　
　　运用第一数学归纳法：把一个半径为R的球的上半球横向切成n份， 每份等高
　　并且把每份看成一个圆柱，其中半径等于其底面圆半径
　　则从下到上第k个圆柱的侧面积S(k)=2πr(k)×h
　　其中h=R/n ，r(k)=√[R²-﹙kh﹚²]
　　S(k)=√[R²-(kR/n)²]×2πR/n
　　=2πR²×√[1/n²-(k/n²)²]
　　则 S(1)+S(2)+……+S(n) 当 n 取极限（无穷大）的时候，半球表面积就是2πR²
　　乘以2就是整个球的表面积 4πR²。

8. 球的体积公式推导过程是什么?

分析如下：
把一个半径为R的球体中心点在坐标原点o上表面分割成许多小块，每一小块的面积为ds，ds四个顶点A,B,C,D之间的距离AB=BC=CD=DA，四个角度相等，由o点指向A,B,C,D所张的立体角为dΩ，这样ds = dΩR。
把四个顶点和o点连接，形成一个接近四棱锥体【体积为hL/3 ，h是四棱锥体的高，L是四棱锥体的底面积】的微小体积dv，当分割的无限细密，ds接近零时候，ds= L，h = R, 并且：
hL/3 = dΩR = dv
dv是球的体积元素，对dv环绕一周【角度为4π】积分，就是求的体积公式。
∮dΩR/3 = 4πR/3。

球体性质
用一个平面去截一个球，截面是圆面。球的截面有以下性质：
1、球心和截面圆心的连线垂直于截面。
2、球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r^2=R^2-d^2
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。
在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。