什么是商高定理？

1. 什么是商高定理？

　　商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，处于奴隶社会时期。在中国古代大约是西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度。”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高说：“故折矩以为勾广三，股修四，经隅五。”即我们常说的勾三股四弦五。什么是“勾、股”呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高答话的意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做“商高定理”。
　　关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”“此数”指的是“勾三股四弦五”，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。

2. 商高定理是怎么回事？

商高定理 
商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作 《周髀 算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的勾股定理. 
关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说："故禹之所以治天下者，此数之所由生也。""此数"指的是"勾三股四弦五"，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。 

毕达哥拉斯定理 
Pythagoras’ theorem 
在国外，相传勾股定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃及三角形”等。但他们发现的时间都比我国要迟得多。 

赵爽与勾股定理 
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。 
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。” 

伽菲尔德与勾股定理 
总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的； 

在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。 

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 

应用就是求题,直角三角形知道2长边求第3边长

3. 谁发现了“商高定理”？

勾股定理是一个基本几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。
世界上几个文明古国如古巴比伦、古埃及都先后研究过这条定理。我国是最早了解勾股定理的国家之一，被称为“商高定理”。
成书于公元前1世纪的我国最古老的天文学著作《周髀算经》中，记载了周武王的大臣周公询问皇家数学家商高的话，其中就有勾股定理的内容。
这段话的内容是，周公问：“我听说你对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么关于天的高度和地面的一些测量的数据是怎么样得到的呢？”
商高说：“数的产生来源于对圆和方这些图形的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么，它的斜边‘弦’就必定是5。”
这段对话，是我国古籍中“勾三、股四、弦五”的最早记载。
用现在的数学语言来表述就是：在任何一个不等腰的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方。也可以理解成两个长边的平方之差与最短边的平方相等。
基于上述渊源，我国学者一般把此定理叫作“勾股定理”或“商高定理”。
商高没有解答勾股定理的具体内容，不过周公的后人陈子曾经运用他所理解的太阳和大地知识，运用勾股定理测日影，以确定太阳的高度。这是我国古代人民利用勾股定理在科学上进行的实践。
周公的后人陈子也成了一个数学家，是他详细地讲述了测量太阳高度的全套方案。这位陈子是当时的数学权威，《周髀算经》这本书，除了最前面一节提到商高以外，剩下的部分说的都是陈子的事。
据《周髀算经》说，陈子等人的确以勾股定理为工具，求得了太阳与镐京之间的距离。为了达到这个目的，他还用了其他一系列的测量方法。
陈子用一只长8尺，直径0.1尺的空心竹筒来观察太阳，让太阳恰好装满竹筒的圆孔，这时候太阳的直径与它到观察者之间距离的比例正好是竹筒直径和长度的比例，即1比80。
经过诸如此类的测量和计算，陈子和他的科研小组测得日下60000里，日高80000里，根据勾股定理，求得斜至日整10万里。这个答案现在看来当然是错的。但在当时，陈子对他的方案充分信心。他进一步阐述这个方案：
在夏至或者冬至这一天的正午，立一根8尺高的竿来测量日影，根据实测，正南1000里的地方，日影1.5尺，正北1000里的地方，日影1.7尺。这是实测，下面就是推理了。
越往北去，日影会越来越长，总有一个地方，日影的长会正好是6尺，这样，测竿高8尺，日影长6尺，日影的端点到测竿的端点，正好是10尺，是一个完美的“勾三股四弦五”的直角三角形。
这时候的太阳和地面，正好是这个直角三角形放大若干倍的相似形，而根据刚才实测数据来说，南北移动1000里，日影的长短变化是>0.1尺，那由此往南60000里，测得的日影就该是零。也就是说从这个测点到“日下”，太阳的正下方，正好是60000里，于是推得日高80000里，斜至日整10万里。接下来，陈子又讲天有多高地有多大，太阳一天行几度，在他那儿都有答案。
陈子根本没有想到这一切都是错的。他要是知道他脚下大得没边的大地，只不过是一个小小的寰球，体积是太阳的一百三十万分之一，就像飘在空中的一粒尘土，真不知道他会是什么表情。
书的最后陈子说：一年有365天4分日之一，有12月19分月之7，一月有29天940分日之499。这个认识，有零有整，而且基本上是对的。现在大家都知道一年有365天，好像不算是什么学问，但在那个时代，陈子的学问不是那么简单的，虽然他不是全对。
勾股定理的应用，在我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中也有记载：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溢的灾害，也是应用勾股定理的结果。
勾股定理在几何学中的应用非常广泛，较早的案例有《九章算术》中的一题：有一个正方形的池塘，池塘的边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的高度各多少？
这是一道很古老的问题，《九章算术》给出的答案是“12尺”、“13尺”。这是用勾股定理算出的结果。
汉代的数学家赵君卿，在注《周髀算经》时，附了一个图来证明“商高定理”。这个证明是400多种“商高定理”的证明中最简单和最巧妙的。外国人用同样的方法来证明的，最早是印度数学家巴斯卡拉•阿查雅，那是1150年的时候，可是比赵君卿还晚了1000年。
东汉初年，根据西汉和西汉时期以前数学知识积累而编纂的一部数学著作《九章算术》里面，有一章就是讲“商高定理”在生产事业上的应用。
直至清代才有华蘅芳、李锐、项名达、梅文鼎等创立了这个定理的几种巧妙的证明。
勾股定理是人们认识宇宙中形的规律的起点，在东西方文明起源过程中，有着很多动人的故事。
我国古代数学著作《九章算术》的第九章即为勾股术，并且整体上呈现出明确的算法和应用性特点，表明已懂得利用一些特殊的直角三角形来切割方形的石块，从事建筑庙宇、城墙等。