斐波那契—卢卡斯数列的定义

1. 斐波那契—卢卡斯数列的定义

一般地，符合f(n) = f(n-1)+ f(n-2)，f(n-2)=f(n)- f(n-1)的整数数列f(n)，都是斐波那契—卢卡斯数列。为区别不同的斐波那契—卢卡斯数列，我们根据前两项来标定斐波那契—卢卡斯数列，如斐波那契数列：F[1,1]；卢卡斯数列：F[1,3]；数列1，4，5，9.，14，23…：F[1,4]；特别地，常数数列0，0，0…：F[0,0]，作为下述斐波那契—卢卡斯数列群的单位元素。 f(n+1)+f(n+2)=f(n+3)*1f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+6)=f(n+5)*4f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+10)=f(n+7)*11f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+14)=f(n+9)*29f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+18)=f(n+11)*76注意：1，4，11，29，76，…是卢卡斯数列的奇数项。 每一项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值，称为黄金特征。斐波那契数列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=…=1卢卡斯数列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5F[1，4]数列：|4*4-1*5|=|5*5-4*9|=…=11F[2，5]数列：|5*5-2*7|=|7*7-5*12|=…=11F[2，7]数列：|7*7-2*9|=|9*9-7*16|=…=31斐波那契数列的黄金特征1最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。而F[1，4]数列和F[2，5]数列的黄金特征是11，黄金特征31的数列除了F[2，7]外，还有F[3，8]，其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是成对出现的，他们都是： 利用f(n-2)= f(n)- f(n-1)，写出前面的项，如下表：  　　-5  -4  -3  -2  -1  0  1  2  3  4  5  6  黄金特征  F[1,1]  5  -3  2  -1  1  0  1  1  2  3  5  8  1  F[1,3]  -11  7  -4  3  -1  2  1  3  4  7  11  18  5  F[1,4]  -19  12  -7  5  -2  3  1  4  5  9  14  23  11  F[2,5]  -14  9  -5  4  -1  3  2  5  7  12  19  31  11  我们发现：斐波那契—卢卡斯数列与分数对应：F[1，1]的正负项绝对值相等，第0项为0，对应于整数。F[1，3]的正负项绝对值也相等，第0项为2，第1项为1，对应于分数1/2。而F[1，4]的正项绝对值与F[2，5]的负项绝对值相等，F[2，5]的正项绝对值与F[1，4]的负项绝对值相等，而且，他们的第0项都是3，第1项分别是1和2，所以他们对应互补的分数1/3和2/3，这样的数列就是孪生斐波那契—卢卡斯数列。每一对互补的分数（如1/4和3/4，1/5和4/5，2/5和3/5，或2/6和4/6等等)都对应一对孪生斐波那契—卢卡斯数列。

2. 卢卡斯数列和斐波那契数列的区别

卢卡斯数列和斐波那契数列：数列表达式
Fn=Fn-1
+
Fn-2
不同的是两者的通用项表达式：卢卡斯数列：
f(n)=[(1+√5)/2]^n+[(1-√5)/2]^n
数列：1
3
4
7
11
18；斐波那契数列(又称黄金分割数列)：
f(n)=1/√5[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n
数列：1
1
2
3
5
8

3. 卢卡斯数列是斐波那契数列的推广吗

卢卡斯数
(简记
Ln)
有很多性质和斐波那契数很相似。如
Ln
=
Ln-1
+
Ln-2，其中不同的是
L1
=
1、
L2
=
3。
用文字来说，就是斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契数就由之前的两数相加...斐波那契数列是卢卡斯数列的特殊情况。或是斐波那契n步数列步数为2的情形。斐波那契数列1，1，2，3，5，8…，和卢卡斯数列1，3，4，7，11，18…，具有相同的性质：从第三项开始，每一项都等于前两项之和，我们称之为斐波那契—卢卡斯递推。凡符合斐波那契—卢卡斯递推的数列就称为斐波那契—卢卡斯数列。一般地，符合f(n)
=
f(n-1)+
f(n-2)，f(n-2)=f(n)-
f(n-1)的整数数列f(n)，都是斐波那契—卢卡斯数列。

4. 卢卡斯数列是斐波那契数列的推广吗

5. 斐那波契数列

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……

起源
1202年数学家菲波那契提出了一个著名的兔子问题：假定一对兔子从第三个月起逐月生一对一雌一雄的小兔，每对小兔在两个月后也逐月生一对一雌一雄的小兔，…。问一年之后兔房里共有多少对兔子？ 　　菲波那契是这样来考虑的：设第n个月后兔房里的兔子数为an对，这an应由以下两部分组成：一部分是第n﹣1个月时已经在兔房里的兔子，它们有an﹣1对；另一部分是第n个月中新出世的，而这部分应有第n﹣2个月时兔房里的兔子所生，有a n﹣2对。 　　∴有递推关系式(An+1)=(An)+(An-1)（n∈N且n＞2），且易知A1=A2 =1。由这个递推关系式可以得到一年后的兔子对数A12=141。这也是递推方法应用的一个最著名的例子。 　　按照如上的递推，菲波拉契数列前几项如下： 　　1 1 2 3 5 8 13 21…… 　　从数学上，该数列也是可以推导出通项公式的，其通项公式推导如下： 　　(An+1)=(An)+(An-1),将An项分解为(((1+√5)/2)+((1-√5)/2))(An)，然后移项，得到下式： 　　(An+1)-((1+√5)/2)(An)=((1-√5)/2)(An)+(An-1) 　　即(An+1)-((1+√5)/2)(An)=((1-√5)/2)((An)-((1+√5)/2)(An-1)) 　　即新数列{(An)+((1+√5)/2)(An-1)}是以((1-√5)/2)为首项，((1-√5)/2)为公比的等比数列 　　即(An)-((1+√5)/2)(An-1)=((1-√5)/2)^n 　　即(An)=((1+√5)/2)(An-1)+((1-√5)/2)^n 　　两边同时除以((1+√5)/2)^n，得又一新数列(Bn)=(Bn-1)+(((1-√5)/2)^n)/(((1+√5)/2)^(n+1)) 　　其中，(Bn)=An/(((1+√5)/2)^n) 　　依次递归，得到(Bn)=((1+√5)/2)^(-1)+2*(((1-√5)/(1+√5)^2)+(((1-√5)^2)/(1+√5)^3)+……+(((1-√5)^(n-1))/(1+√5)^n)) 　　将Bn带入，化简，得到An=((((1+√5)/2)^n)-(((1-√5)/2)^n))/(√5) 　　(注√表示根号) 　　该数列有以下几个性质： 　　1.随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割比 　　2.从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1 　　3.如果任意挑两个数为起始，按照菲波拉契数列的形势递推下去，随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割比，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值(菲波拉契数列的推广)。

6. 什么是斐波那契数列

斐波那契数列数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
例子：数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........
应用：
生活斐波那契
斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。
斐波那契数与植物花瓣3………………………
百合和蝴蝶花5……………………
蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花8………………………
翠雀花13………………………
金盏和玫瑰21……………………
紫宛34、55、89……………雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。
叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
黄金分割
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887..…

扩展资料：
性质：
平方与前后项
从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多1。
如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。
（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从数列第二项1开始数，第4项5是奇数，但它是偶数项，如果认为5是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）
证明经计算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)
发明者：
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。
参考资料：百度百科----斐波那契数列

7. 斐波那契数列的定义是什么

斐波那契数列指的是这样一个数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
通项公式：
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

8. 什么是斐波那契数列