一元三次方程

1. 一元三次方程

2. 一元三次方程

一元三次方程是型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型
其解法如下
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： 
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) 
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即 
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a 
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a 
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为 
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) 
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) 
可化为 


(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 



y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 


将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得 
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) 
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) 


(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得 
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) 
式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了 
ax3+bx2+cx+d=0 记：p=（27a2d+9abc-2b3）/(54a3) q=(3ac-b2）/（9a2） X1=-b/（3a）+（-p+（p2+q3）^(1/2))^(1/3)+ （-p-（p2+q3）^(1/2))^(1/3)

3. 一元三次方程

解：设x^3+ax+2b=(x-1)(kx^2+mx+n)x^3+ax+2b=kx^3+(m-k)x^2+(n-m)x-n对应系数相等k=1m-k=0,m=1n-m=a,n=a+1n=-2b带入x^3+ax+2b=(x-1)(kx^2+mx+n)=(x-1)(x^2+x+a+1)x^2+x+a+1=0无解用判别式小于零得出答案。

4. 一元三次方程

一元三次方程是只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3次的整式方程。
一元三次方程的标准形式是ax3+bx2+cx+d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。
一元三次方程的公式解法为卡尔丹公式法。

中文名:一元三次方程
外文名:cubic equation in one unknown
类型
整式方程/多项式方程
标准形式
ax3+bx2+cx+d=0（a≠0）
解法
卡尔丹公式法/因式分解法/未知数与常数互易法

配方法:
我们知道，对于任意一个n次多项式，我们总可以只借助最高次项和（n-1）次项，根据二项式定理，凑出完全n次方项，其结果除了完全n次方项，后面既可以有常数项，也可以有一次项、二次项、三次项等，直到（n-2）次项。
由于二次以上的多项式，在配n次方之后，并不能总保证在完全n次方项之后仅有常数项。
于是，对于二次以上的多项式方程，我们无法简单地像一元二次方程那样，只需配出关于x的完全平方式，然后将后面仅剩的常数项移到等号另一侧，再开平方，就可以推出通用的求根公式。
特别地，对于三次多项式，配立方，其结果除了完全立方项，后面既可以有常数项，也可以有一次项。
一个自然的想法就是利用配方法将一般的三次方程化为不带二次项的三次方程。

5. 一元三次方程

是指只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3次的整式方程。标准型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0（a，b，c，d∈R，且a≠0），其解法有：卡尔丹公式法以及盛金公式法。函数历史：意大利学者卡丹所著的《关于代数的大法》中给出了一元三次方程的求根公式，人们就将这个公式称为卡丹公式或卡尔达诺公式。一元三次、四次方程求根公式找到后，人们在努力寻找一元五次方程求根公式，之后年轻的挪威数学家阿贝尔于1824年所证实，n(n≥5)次方程没有公式解。不久，这一问题在19世纪上半期，被法国天才数学家伽罗华利用他创造的全新的数学方法所证明，由此一门新的数学分支“群论”诞生了。

6. 一元三次方程

一元三次方程快速解法有、因式分解法、一种换元法、卡尔丹公式法等多种方法。
1、因式分解法
因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。
例如：解方程x^3-x=0。对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=-1。

2、一种换元法
对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。令x=z-p/3z，代入并化简，得：z^3-p/27z+q=0。再令z^3=w，代入，得：w^2-p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程。解出w，再顺次解出z，x。
3、卡尔丹公式法
特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)。判别式Δ＝（q/2)^2+(p/3)^3。

7. 一元三次方程

8. 一元三次方程

化简得(x-1)(3x+2)(ⅹ-2)=0x=1，x=-2/3，x=2