偏微分方程数值解的介绍

1. 偏微分方程数值解的介绍

偏微分方程数值解是人民邮电出版社的书

2. 总结偏微分方程的解法

可分为两大方面：解析解法和数值解法。
其中只有很少一部分偏微分方程能求得解析解，所以实际应用中，多求数值解。
数值解法又可以分为最常见的有三种：差分法、有限体积法、有限元法。其中，差分法是最普遍最通用的方法。

扩展资料
偏微分方程示例
二阶线性与非线性偏微分方程始终是重要的研究对象。
这类方程通常划分成椭圆型、双曲型与抛物型三类，围绕这三类方程所建立和讨论的基本问题是各种边值问题、初值问题与混合问题之解的存在性、唯一性、稳定性及渐近性等性质以及求解方法。
近代物理学、力学及工程技术的发展产生出许多新的非线性问题，它们常常导引出除上述方程之外的称为混合型方程、退化型方程及高阶偏微分方程等有关问题，这些问题通常十分复杂具有较大的难度。
对于偏微分方程问题的讨论和解决，往往需要应用泛函分析、代数与拓扑学、微分几何学等其它数学分支的理论和方法。
另一方面，由于电子计算机的迅速发展，使得各种方程均可数值求解，并且揭示了许多重要事实，因此，数值解法的研究，在已取得许多重要成果的基础上，将会有更快地发展。
参考资料：百度百科——偏微分方程

3. 求解偏微分方程

这是典型的热传导方程，可以用经典的分离变量法来求解：
令u(x,t)=f(x)g(t)，那么代入原方程得到：
fg`=f``g
不妨记f``/f=g`/g=-λ，得到两个微分方程：
f``+λf=0
g`+λg=0
并注意边界条件：
u(0,t)=f(0)g(t)=0，即f(0)=0
u`(1,t)=f`(1)g(t)=0，即f`(1)=0………………注意若g(t)等于0则有平凡解u=0，舍去；
将此两个条件代入f的方程就能解出一个f的特解：
特征方程r²+λ=0
当λ小于或等于0时，f的非零解（两个指数函数的和）无法满足边界条件；当λ大于0时，f的形式为两个三角函数，代入边界条件分析λ应满足cos√λ=0，所以λ=(2n-1)²π²/4（对应每个正整数n，共有无穷多个），每个λ又对应一个解，所以最后关于x的通解是n个解的和；
在没有其它关于g的条件时方程的通解就是这个特解乘以关于t的任意函数。

题目的后两问就是添加关于t的边界条件从而解出g的方法（特别注意要把λ代入g的方程），解法就是经典的一阶微分方程的解法，留给题主自行解决。最后再把关于x和t的解乘起来就OK了！

网页书写比较麻烦，请参考《数理方程》中有关分离变量法的部分。

4. 总结偏微分方程的解法

可分为两大分支:解析解法和数值解法。
只有很少一部分偏微分方程能求得解析解，所以实际应用中，多求数值解。
数值解法最常见的有三种:差分法(最普遍最通用)、有限体积法、有限元法，其他数值解法还有:正交配置法、微扰法(可解薛定谔方程)、变分法等等。

扩展资料：
导数（Derivative）是微积分学中重要的基础概念。
对于定义域和值域都是实数域的函数f:R→R，若f(x)在点x0的某个邻域△x内，极限定义如下
f′(x0)=△x→0lim△xf(x0+△x)−f(x0)(1.1)若极限存在，则称函数f(x)在点x0处可导，f′(x0)称为其导数，或导函数，也可以记为dxdf(x0)。在几何上，导数可以看做函数曲线上的切线斜率。
给定一个连续函数，计算其导数的过程称为微分（Differentiation）。微分的逆过程为积分（Integration）。函数f(x)的积分可以写为
F(x)=∫f(x)dx(1.2)
其中F(x)称为f(x)的原函数。
若函数f(x)在其定义域包含的某区间内每一个点都可导，那么也可以说函数f(x)在这个区间内可导。如果一个函数f(x)在定义域中的所有点都存在导数，则f(x)为可微函数（DifferentiableFunction）。可微函数一定连续，但连续函数不一定可微。例如函数_x_为连续函数，但在点x=0处不可导。下表是几个常见函数的导数：
参考资料来源：百度百科_微积分

5. 偏微分方程求解

偏微分方程求解：
1、核心思想是利用迭加原理求得微分方程足够数目的特解（基本解组），再作这些特解的线性组合，使满足给定的初始条件。
2、假定可分离变量的非平凡解的特解u(x,t)=X(x)T(t)并要求它满足齐次边界条件u(x,0)=0，u(x,π)=0。
3、分离变量后，得到T"(t)+λa^2T(t)=0  X"(t)+λX(t)=0。
4、求解X(x)的通解。

5、确定待定系数λ。
6、得到Uk(x,t)=Xk(x)*Tk(t)的特解。
7、根据初始条件，利用傅里叶级数确定Ak和Bk（即题目中的A1，A2）。
8、将Ak和Bk代入u(x,t)中，就得到偏微分方程以级数形式表示的解。

偏微分方程是厦门大学建设的慕课、国家精品在线开放课程，该课程于2017年3月1日在中国大学MOOC首次开设，授课教师为谭忠。据2021年7月中国大学MOOC官网显示，该课程已开课9次。
该课程共8章，包括引言：从音乐审美到揭秘量子纠缠；典型偏微分方程模型的建立；偏微分方程的基本概念、形成的数学问题与分类；高维波动方程的Cauchy问题；能量方法、极值原理与格林函数法等章目。

6. 偏微分方程求解

科普中国·科学百科：偏微分方程

7. 这个偏微分方程怎么解？

这是非齐次微分方程，需要求出其对应的齐次微分方程的两个线性无关的解：
y3-y1 和 y2-y1
于是齐次微分方程的通解为：
c1(y3-y1) + c2(y2-y1)
非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解
于是非齐次微分方程的通解为：
c1(y3-y1) + c2(y2-y1) + y1
代入上面式子得通解为：
y = (c1 + c2x)e^2x + x

8. 偏微分方程求解

科普中国·科学百科：偏微分方程