模糊数学评价模型

1. 模糊数学评价模型

综合评价是综合考虑受多种因素影响的事物或系统对其进行总的评价，当评价因素具有模糊性时，则被称为模糊综合评价。基坑降水环境影响模糊综合评价模型的构建步骤如下：
（1）确定评价集和因子集
评价单元的评价指标集合

基坑降水工程的环境效应与评价方法

其中：u1，u2，...u9为参与评价的9个环境因子的性状数据。
环境质量的判断集，即评价结果（评语）组成的集合为：

基坑降水工程的环境效应与评价方法

其中：v1，v2，v3，v4分别代表评价等级为Ⅰ～Ⅳ级。
在环境质量的分级评价中，U是一个模糊向量，而V则是一个矩阵，V为U相应的评价标准的集合。在U和V都给定以后因素论域（环境因子）与评语论域（评价标准）之间的模糊关系可以用模糊关系矩阵R来表示：

基坑降水工程的环境效应与评价方法

根据模糊关系的定义，rij表示第i个评价因子的环境质量数值可以被评为第j级环境质量的可能性即i对于j的隶属度。因此，模糊关系矩阵R中的第i行，实际上代表了第i个评价因子对各级环境质量标准的隶属性；而模糊关系矩阵中的第j列，则代表了各个评价因子对第j级环境质量标准的隶属性。
（2）评价因子分级标准的确定
评价标准的划分都是一个区间值。对于第Ⅰ级的环境质量标准值作为其代表值，记为e（Ⅰ）；对第Ⅱ级取第Ⅰ级和第Ⅱ级环境质量标准值的平均值作为代表值，记为e（Ⅱ），其余类推。
分级代表值是确定环境因子性状数据的隶属度的基础。有了分级代表值后，可以根据实际环境因子的性状数据来计算其隶属度。
环境质量标准的划分有时候也采用特征值的办法，每一级预先给定一个数值作为该级标准的代表值，相当于直接给出了评价标准分级代表值。
（3）隶属函数的确定
隶属函数的确定方法有很多种。如矩形分布隶属函数、正态型分布隶属函数、柯西分布隶属函数、梯形分布隶属函数等。在地质环境评价实际工作中，梯形分布的隶属函数应用最为广泛，本次模型的建立也采用了梯形分布隶属函数。其隶属函数关系式如下：

基坑降水工程的环境效应与评价方法


基坑降水工程的环境效应与评价方法

式中u1（x），u2（x），u3（x），u4（x）为环境因子x对一级、二级、三级、四级环境质量标准的隶属度。
环境质量级别的隶属度矩阵C：

基坑降水工程的环境效应与评价方法

2. （一）模糊数学相关概念和模糊评价模型

1.相关定义
设  是论域X到［0，1］的一个映射，即  ：X→［0，1］，x→  （x）。  称是X上的模糊集，而函数  （.）称为模糊数学集  的隶属函数，  （x）称为x对模糊集  的隶属度。
2.模糊评判的基本要素
应用模糊数学方法解决综合评判问题，要求所讨论的问题具有以下特征：即评判客体在概念上具有模糊性，评判主体在思维方法上具有多样性，评判结果在表达式上具有口语化的特征。这三点并称为模糊评判的三个基本要素。
3.模糊评判模型的一般形式
已知一个有限集合X
X＝｛x1，x2，…，xn｝
X中的元素xj（j＝1，2，…，n）表示评价对象
又已知一个有限集合K
Ks＝｛k1，k2，…，kn｝
K中的元素ki（i＝1，2，…，m）表示不同的评价指标
令ui为第i个评价指标ki∈K的隶属函数，即
ui＝μ（ki），ui∈［0，1］
则U为一个有限的模糊子集，即
U＝｛u1，u2，…，un｝
所谓模糊评判问题的数学表达即是寻求一个模糊集合B
B＝{b1，b2，…，bn｝，bj∈［0，1］
B中元素bj表示第j个被评价对象的综合对象的综合评价指数。由于隶属函数uj适用于所有的评价对象xj，则可得到一个评价矩阵R称为模糊关系。即
R：U×X→［0，1］
R＝（rij）m×n＝（rm1，rm2，…，rmn）
式中：rij＝R（xj，ui）∈［0，1］表示第i个评价因子对第j个评价等级的隶属度。
给定一个模糊向量
A＝｛a1，a2，…，am｝
A中的元素ak（k＝1，2，…，m）表示第k个模糊算子相当于评价的权重，且

胶东半岛海水入侵地区水资源高效利用与河口海岸生态修复技术

有了评判矩阵R和权重矩阵A两个矩阵后，即可进行复合运算评判，可得模糊子集，记作
B＝A×R＝（bj）n＝（b1，b2，…，bn）
4.确定评价因子
在模糊综合评价中，评价因子的选择至关重要。海水入侵研究中，水化学特征是判断海水入侵的直接依据。迄今为止多采用单一的指标分析。大多是以Cl-含量超过250mg/L作为海水入侵标准。但是在海水入侵过程中，影响判断海水入侵程度的因子众多，在不同的评价区域、不同的评价时段内，各因子主次关系也不同，评价是很难将所有因子全面考虑。鉴于此，本着评价指标的系统性、客观性和可操作性的原则。选取了五个指标（Cl-，TDS，  ，  /rCl-和SAR）作为评价海水入侵程度的综合指标。即
因数集u＝｛u1，u2，u3，u4，u5｝＝｛Cl-，TDS，  ，  /rCl-，SAR｝
Cl-：海水中最稳定常量元素，且测量比较简单，故作为首选指标；
TDS（溶解性总固体）：溶解性总固体是指水中所含各种离子、分子及化合物的总量，是地下水化学成分的重要标志。
 ：属于微量元素，在海水中较稳定，而陆地地下淡水中含量较少，受到浸染后，其含量随海水入侵程度的发展变化较为敏感。]] /rCl-：  和Cl-作为淡水和海（咸）水中的特征阴离子，其离子比  /rCl-（r表示毫摩尔）能清楚反映两种水体的差异。]]＋是海水中首要的阳离子，其含量比淡水要高出2～4个数量级。美国盐渍土实验室提出的SAR来衡量灌溉水质的钠危害程度。
其表达式为

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5.确定评语集
被浸染的水体依其程度轻重分为淡水、微咸水、咸水，各项化学指标及其动态多在较高浸染水平上趋于钝化，所以为突出反映海水入侵前缘的变化，应该在其过渡带（微咸水）加以细化。因此，将海水入侵程度分为四级：无或轻度Ⅰ级（淡水）、轻度浸染Ⅱ级（微咸水），较严重浸染Ⅲ级（微咸水）、严重浸染Ⅳ级（咸水），即
评语集：v＝｛v1，v2，v3，v4｝＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ｝
6.评价指标数据来源与指标的量化
2011年枯水期，我们在烟台市选取典型地点进行水质监测。Cl-的等级量化主要依据世界卫生组织制定的饮水标准确定；TDS采用我国现行通用的淡水至咸水的溶解性总固体指标值；  、  、rCl-和SAR的量化值，依据烟台市65个观测井的实测水样分析资料，以Cl-含量为参照对四个指标的分布范围及其平均值进行统计分析，结果见表2-3。
7.隶属函数确定
建立评判矩阵的关键是确定隶属函数，这里选用比较成熟的线性隶属函数：用降半梯形型和升半梯形型隶属函数形式求两端等级的隶属度；用对称山型隶属函数形式求中间等级的隶属度。

表2-3 海水入侵指标的等级划分

（1）正降半梯形隶属函数
对于数值越大等级越高的评价因子（Cl-，TDS，  ，SAR）；采取正降半梯形隶属函数，如图2-6所示。

图2-6 正降半梯形隶属函数


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（2）反降半梯形隶属函数
对于数值越大等级越低的评价因子i（  /rCl-），其隶属函数采用如图2-7所示的反降半梯形隶属函数：

图2-7 反降半梯形隶属函数


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8.评判矩阵R（评判因子与评价等级之间的模糊关系）
依据上述隶属函数，分别求其相应各级的隶属度rij（i＝1，2，3，4），并确定各因子的模糊关系矩阵R，取U和V分别为评价因子集合与海水入侵程度分级的集合，将数据一一代入各个具体的隶属函数中，可计算出模糊矩阵R如下：

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9.建立评价因子间的模糊关系
本模型将采用超标指数赋权法，但将权值归一化，这样既突出了海水入侵程度评价中主要指标的作用，又考虑了不同指标标准值的差异，计算简便。其数学表达式为

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式中：xi——各指标实测浓度，mg/L；
ai——各指标各等级代表值，mg/L；
si——各指标各等级代表值（ai）的算术平均值；
n——分级数。
对所求得各项指标权重进行归一化处理，即

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3. 模糊评估法

模糊评估是借助模糊数学的一些概念，对实际的评估问题提供一些评估的方法。具体地说，模糊评估就是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清、不易量化的因素定量化，从多个因素对被评估事物隶属等级状况进行综合型评估的一种方法。综合评判是对被评判对象的全体，根据所给的条件，给每个对象赋予一个非负实数——评判指标，再据此排序择优。
模糊综合评判作为模糊数学的一种具体应用方法，主要分两步：第一步先按每个因素单独评判；第二步再按所有因素综合评判。模糊综合评判的优点是：数学模型简单，容易掌握，对多因素、多层次的复杂问题评判效果比较好，是别的数学分支和模型难以代替的方法。模糊评估法的特点在于，评判逐对进行，对评判对象有唯一的评估值，不受被评估对象所处对象集合的影响。模糊评估的具体步骤如下：
（1）确定评估对象的因素论域：
X＝｛X1，X2，…，Xn｝，即n个评估指标。
（2）确定评估等级论域：
V＝｛V1，V2，…，Vp｝，即等级集合，每一个等级可对应一个模糊子集。一般的，评估等级数p取［3，7］ 中的整数，p经常取奇数，这样可以有一个中间等级，便于评判被评估事物的等级归属。具体等级可以依据评估内容用适当的语言描述，比如评估产品的竞争力可以取V＝｛强，中，弱｝，评估地区的社会经济发展水平可取V＝｛高，较高，一般，较低，低｝，等等。
（3）进行单因素评估，建立模糊关系矩阵R。构造了等级模糊子集后，就要逐个对被评估事物从每个因素Xi上进行量化，即确定从单因素来看被评估事物对各等级子集的隶属度（R｜Xi），进而得到模糊关系矩阵：

地质资料社会化服务评估研究

矩阵R中第i行第j列元素rij表示被评估事物，从因素Xi来看对Vj等级模糊子集的隶属度。一个被评估事物在某个因素Xi方面的表现是通过模糊向量（R｜Xi）（ri1，ri2，…，rip）来体现的，而在其他评估方法中多是由一个指标实际值来体现的。因此，模糊评估要求的信息更多。
（4）确定评估因素的模糊权向量W ＝（w1，w2，…，wn）。其赋权方法，可采用前面介绍的主观赋权法或客观赋权法。
（5）利用合适的合成算子将W与被评估事物的R合成得到各评估事物的模糊评估结果向量B。
R中不同的行反映了某个被评估事物，从不同的单因素来看对各等级模糊子集的隶属程度。用模糊权向量W将不同的行进行综合，就可得到该被评估事物从总体上来看对各等级模糊子集的隶属程度，即模糊评估结果向量R。模糊评估的模型为：

地质资料社会化服务评估研究

式中bj表示被评估事物从整体上看对Vj等级模糊子集的隶属程度。
（6）对模糊评估结果向量进行分析。每一个被评估事物的模糊评估结果都可表现为一个模糊向量，这与其他方法中的每一个被评估事物都得到一个评估值是不同的，它包含了更多的信息。对不同的一维评估值可以方便地进行比较并排序，而对不同的多维模糊向量进行比较排序就不那么方便了。
模糊评估法的六个基本步骤中，第三步和第五步为比较核心的两步。第三步为模糊单因素评估，本质上是求隶属度，在实际应用中往往凭经验来选取合适的方法，并且工作量相当大。第五步的合成本质上是对模糊单因素评估结果的综合，真正体现了评估。