已知三角形ABC中，角ABC的平分线与角ACB的外角平分线交于点P，角BPC=40度，求角CAP?

1. 已知三角形ABC中，角ABC的平分线与角ACB的外角平分线交于点P，角BPC=40度，求角CAP?

如图，已知三角形ABC中，角ABC的平分线与角ACB的外角平分线交于点P，角A∠P=0.5∠A=40度在BC的延长线上加个字母E∠PCE是三角形PBC的外角,

2. 如图，在三角形ABC中，角ABC和角ACB的外角平分线相交于点P。（1）若角ABC=30度，角ACB=70度，求角BPC的度

解：  
(1)∵∠B和∠C的外角平分线相交于点P，  
∴∠PBC=1/2∠EBC, ∠PCB=1/2∠FCB.  
∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB= 100°.  
又∵∠ABC +∠ACB+∠EBC+∠FCB=360°，    
∴∠EBC+∠FCB= 360°．  
又∵∠PBC+∠PCB+∠BPC= 180°．   
∴∠BPC = 180° - (∠PBC +∠PCB ) = 180°-1/2 (∠EBC+∠FCB)=50°

3. 如图,在三角形ABC中,角ABC的角平分线与角ACB的外角平分线相交于P点,若角P=25度，求角A的度数。

设角B被平分成角1，角2，则角1=角2. 设角ACD平分角3，角4，则角3=角4.    根据外角等于两个内角和，在三角形BPC中，角4=角2+角P，那么角ACD=2*角4=2*角2+2*角P=2*角2+50度；   因为角ACD=角A+角B=角A+2*角2，比较前面两个式子，可得角A=50度

4. 如图,在三角形ABC中,角ABC与角ACB的平分线交于点P。若角A=50度,求角BPC的度数

<BPC=1\2<A+90度 
代入得115度

5. 在三角形ABC中，角A=40度，角ABC与角ACB的平分线相交于点P，求角BPC的度数。

答：
三角形ABC中：∠A+∠B+∠C=180°，即：
40°+2∠PBC+2∠PCB=180°
所以：∠PBC+∠PCB=(180°-40°）/2=70°
故：
∠BPC
=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-70°
=110°

6. 三角形ABC中，角ABC=60度，角ACB=40度，P为角ABC的平分线与角ACB的平分线交点，求

∵∠ABC＝60°、∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－60°－40°＝80。
∵∠PBC＝∠ABC/2＝60°/2＝30°、∠PCB＝∠ACB/2＝40°/2＝20°，
∴∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB＝180°－30°－20°＝130°。

在△ABC中，由正弦定理，有：AB/sin∠ACB＝BC/sin∠BAC。
在△PBC中，由正弦定理，有：PC/sin∠PBC＝BC/sin∠BPC。

∴（AB/sin∠ACB）/（PC/sin∠PBC）＝（BC/sin∠BAC）/（BC/sin∠BPC），
∴（AB/PC）（sin∠PBC/sin∠ACB）＝sin∠BPC/sin∠BAC，
∴（AB/PC）（sin30°/sin40°）＝sin130°/sin80°，
∴AB/PC＝sin40°sin130°/（sin30°sin80°），　∴AB/PC＝2sin40°sin（90°＋40°）/sin80°，
∴AB/PC＝2sin40°cos40°/（2sin40°cos40°）＝1，
∴AB＝PC。

7. 已知三角形ABC中，角ABC的平分线与角ACB的外角平分线交于点P，角BPC=40度

根据内角平分线和外角平分线，可以求得A=80°，作A的内角平分线，交BP于O，连接CO，O为ABC的内心，APCO四点共圆，则角CAP=角COP，在三角形COP内，有
1/2（A+B)+1/2C+40+角COP=180，即90+40+角COP=180，解得角COP=50=角CAP

8. 已知三角形ABC中,角ABC的平分线与角ACB的外角平分线交于点P,角A=50度,求角BPC的度

角BPC=25度
解：角A＋角ABC＝角ACB的外角
角BPC＋1/2角ABC＝1/2角ACB的外角
上述两式相加
角A＋角ABC＋角BPC＋1/2角ABC＝角ACB的外角＋1/2角ACB的外角
角A＋角BPC＋3/2角ABC＝3/2角ACB的外角
角A＋角BPC＝3/2（角ACB的外角－角ABC）
因为：角ACB的外角－角ABC＝角A
所以：50＋角BPC＝75
角BPC＝25