设抛物线C：y的平方=2px（P＞0）的焦点为F，其准线与x轴交点为Q，过点F作直线交抛物线C 于A.B 两点，

1. 设抛物线C：y的平方=2px（P＞0）的焦点为F，其准线与x轴交点为Q，过点F作直线交抛物线C 于A.B 两点，

设B坐标是(yo^2/2p,yo),F坐标是(p/2,0),Q(-p/2,0)
向量BQ=(-p/2-yo^2/2p,-yo),BF=(p/2-yo^2/2p,-yo)
向量BQ*BF=0
即有:(yo^2/2p)^2-p^2/4+yo^2=0
yo^4/4p^2-p^2/4+yo^2=0
yo^4+4p^2yo^2-p^4=0
(yo^2+2p^2)^2=5p^4
yo^2+2p^2=根号5p^2
yo^2=(根号5-2)p^2
所以,B的横坐标是x1=yo^2/(2p)=(根号5-2)p/2
K(BF)=(0-yo)/(p/2-x1)=-yo/[p/2(1-根号5+2)]=-yo/[p/2(3-根号5)]
故AB的方程是:y-0=-yo/[p/2(3-根号5)]*(x-p/2)
代入到y^2=2px中得到A的横坐标X2,
然后有:|AF|-|BF|=(x2+p/2)-(x1+p/2)=x2-x1.

2. 设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　

由y2=3x，得2p=3，p=32，则F（34，0）．∴过A，B的直线方程为y=33(x?34)，即x＝3y+34．联立y2＝3xx＝3y+34，得4y2?123y?9＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝33，y1y2＝?94．∴S△OAB＝12×34|y1?y2|=38(y1+y2)2?4y1y2=38(33)2?4×(?94)＝94．故选：D．

3. 设F为抛物线C:y2=3x 的焦点,过F且倾角为30度 的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△ABC的面积为:

楼主别听他的，他弦长算错了，而且我的方法更简单一点。
弦长AB=XA+XB+p、
联立直线和抛物线方程得到。
x平方-2分之21x+16分之9=0.
所以AB=12。
远点到AB的距离用公式得到8分之3.
所以S=二分之一乘以八分之三乘以12、得四分之九

4. 已知抛物线C:y2=4x的焦点F,过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线l。。。。。。

由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程可得y2-4my-4=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=-4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=m2+1|y1-y2|=4（m2+1）．又直线l′的斜率为-m，∴直线l′的方程为 x=-1my+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+4my-4（2m2+3）=0，∴y3+y4=−4m，y3•y4=-4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（2m2+2m2+3，−2m），∴|MN|=1+1m2|y3-y4|=4(m2+1)2m2+1m2，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=12|MN|，∴14•AB2+DE2=14MN2，∴4（m2+1）2+(2m+2m)2+(2m2+2)2=16(m2+1)2(2m2+1)m4，化简可得 m2-1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为 x-y-1=0，或 x+y-1=0．

5. 过抛物线y2=4x焦点F的直线L与它交于A,B两点，若|AB|=8，求三角形AOB面积

AB垂直x轴
那么OF=1
所以S三角形AOB=1/2×1×8=4
当AB和x轴不垂直的时候
设AB：y=k(x-1)
代入y²=4x
整理：k²x²-2(k²+2)x+k²=0
韦达定理
x1+x2=2(k²+2)/k²
x1*x2=1
代入两点距离公式
AB=√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]
代入，化简
3k^4-2k²-1=0
(3k²+1)(k²-1)=0
k²=1或k²=-1/3（舍去）
k=1或-1
S三角形AOB=1/2×AB×/y1-y2/
/y1-y2/=/k(x1-x2)/
(y1-y2)²=k²(x1-x2)²
k²=1
所以(y1-y2)²=(x1+x2)²-4x1x2=36-4=32
/y1-y2/=4√2
所以S=1/2×8×4√2=16√2

6. 设y平方=2px(p>0)的焦点为F，经过F的直线交抛物线于AB两点

设直线AB的方程为x＝my＋p／2
则由x＝my＋p／2与y^2 =2px (p＞0)联立，消去
x，得y^2－2pmy－p^2＝0
设点A的纵坐标为y1，点B的为y2，
则y1y2＝－p^2 ＊ 
又点A的横坐标为y1^2／2p
则直线AO的方程是y＝2p／y1＊x
令x＝－p／2
则y＝－p^2／y1
结合＊ 得y＝y2
即直线OA与准线的交点C与点B的纵坐标相同
所以BC‖x轴
所以直线AC经过原点O

7. 抛物线y方=2px的焦点为F，A B C点在此抛物线上，点A坐标为（1,2）点F恰为三角形ABC重心，则直线BC的方程为

A坐标为（1,2），代入y^2=2px，得到y^2=4x，焦点F(1,0)         巧了，横坐标都是1！！
根据重心性质（三等分点，中点），所以BC中点M为（1，－1）
使用点差法
将B，C点坐标分别代入抛物线方程，作差
得到（y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2)      y1+y2=-2
所以k=-2
直线方程为2x+y-1=0

8. 过抛物线y2=4x焦点F的直线L与它交于A,B两点，若|AB|=8，求三角形AOB面积

设直线L：y=kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线焦点F（1，0），
把F带入直线得，0=k+b，即b=-k；
把A、B带入直线得y1=kx1+b，y2=kx2+b，相减得y1-y2=k（x1-x2）；
带直线入抛物线得y²=4（y-b）/k，ky²-4y+4b=0，ky²-4y-4k=0，则y1+y2=4/k，y1y2=-4；
|AB|²=（x1-x2）²+（y1-y2）²=（y1-y2）²/k²+（y1-y2）²=（1+1/k²）（y1-y2）²
    =（1+1/k²）[（y1+y2）²-4y1y2]=（1+1/k²）（16/k²+16）=64，
则k=±1；
S△AOB=S△AOF+S△BOF=1/2|OF||y1|+1/2|OF||y2|=1/2|OF|(|y1|+|y2|)，由图知，y1与y2一正一负，故|y1|+|y2|=|y1-y2|，那么（y1-y2）²=（y1+y2）²-4y1y2=32，即|y1|+|y2|=|y1-y2|=4√2；
综上，S△AOB=2√2。