二阶偏微分方程怎么解？

1. 二阶偏微分方程怎么解？

请看图片，

2. 二阶偏微分方程

郭敦顒回答：
方程中自变量只有x，应是还有y，
把方程∂²x/∂t²+Cx=0，写为∂²t /∂x²= C/x的形式，
并且∂²t/∂y²=0，
原方程为t=F（x）+G（y），
F′（x）= Cln| x|，F（x）= C（xln|x|－x）+C1；
G′（y）=C2，G（y）=C2y，
∴原方程为：t=F（x）+G（y）= C（xln|x|－x）+C1+C2y。

3. 二阶偏微分方程

二阶偏微分方程是：F（x，y，y'，y''）=0，其中，x是自变量，y是未知函数，y'是y的一阶导数，y''是y的二阶导数。对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，就称为二阶（常）微分方程。

二阶偏微分方程（partial differential equation of second order）是1993年公布的数学名词，出自《数学名词》第一版。
根据二次型的特征根的符号，可将方程分为四类：
(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.
(ii)    特征根都不为零，有n-1个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.
(iii)   特征根都不为零，有n-m个具有同一种符号(n>m>1)，其余m个具有另一种符号，称方程在点P为超双曲型.
(iv)     特征根至少有一个是零，称方程在点P为抛物型.

若在区域D内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D内是椭圆型、双曲型或抛物型.

4. 二阶偏微分方程

二阶偏微分方程是：y′=f（x）。
原函数问题便是最简单的微分方程。而如果在该方程中y连续求两次导数的话就是二阶微分方程。牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，二阶微分方程得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。

用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型。

因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解（化为积分形式）也被证明不可能。

5. 二元二阶偏微分方程详细解法

这是一维热传导方程的初边值问题，可以用分离变量法求解
令t(x,τ)=X(x)*T(τ)，代入方程，得：

X*T'=aT*X''
令-r=T'/aT=X''/X

则T'+raT=0，X''+rX=0，且X'(0)=0，-λX'(δ)=h[X(δ)-X(∞)]
当r<=0时，X(x)=C1*e^[√(-r)x]+C2*e^[-√(-r)x]
X'=√(-r)C1*e^[√(-r)x]-√(-r)C2*e^[-√(-r)x]
X'(0)=√(-r)C1-√(-r)C2=0，得：C1=C2
即X(x)=C*e^[√(-r)x]+C*e^[-√(-r)x]
X'=√(-r)C*e^[√(-r)x]-√(-r)C*e^[-√(-r)x]
-λ√(-r)C*{e^[√(-r)δ]-e^[-√(-r)δ]}=hC*{e^[√(-r)δ]-e^[-√(-r)δ]-∞}
等式左边为有界量，右边{e^[√(-r)δ]-e^[-√(-r)δ]-∞}为无穷量，所以C=0
所以X(x)=0
当r>0时，X(x)=C1*cos(√r*x)+C2*sin(√r*x)
X'=-C1*√r*sin(√r*x)+C2*√r*cos(√r*x)
X'(0)=C2*√r=0，得：C2=0
即X(x)=C*cos(√r*x)
X'=-C*√r*sin(√r*x)
λC*√r*sin(√r*δ)=hC*[cos(√r*δ)-cos(√r*∞)]
等式左边为定值，右边[cos(√r*δ)-cos(√r*∞)]为不定值，所以C=0
所以X(x)=0
综上所述，X(x)=0，即t(x,τ)=X(x)*T(τ)=0

6. 二阶微分方程求解

f(x)记作y了哈
y''-y'-2y=e^x
特征方程为r^2-r-2=0.r=2,-1
所以y1=C1e^(2x)+C2e^(-x)
设特解y2=Ae^x
y2'=y2''=Ae^x
A-A-2A=1,A=-1/2
所以y=y1+y2=C1e^(2x)+C2e^(-x)-e^x/2

7. 二阶微分方程求解

问题补充：方程组见上图，点击放大 这个只能求数值解吧。求数值解，先要将微分方程转化为差分方程，即离散化。然后自己给的初值，对t进行不断的迭代

8. 二阶微分方程求解

答：

2lnp=lnx+C
ln(p^2)=ln(C1x)
p^2=C1x
y'=p=√(C1x)
y=(2/3)C1*x^(3/2)+C2