三角形的定律

1. 三角形的定律

三角形五心定理
  三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
[编辑本段]一、三角形重心定理
  三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 
  重心的性质： 
  1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。 
  2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 
  3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 
  4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
[编辑本段]二、三角形外心定理   
  三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
  外心的性质：
  1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
  2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
  3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
  4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 
  5、外心到三顶点的距离相等
[编辑本段]三、三角形垂心定理
  三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
  垂心的性质：
  1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
  2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
  3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
  4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
  定理证明
  已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 
  证明： 
  连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE 
  ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC 
  ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 
  又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 
  因此，垂心定理成立！
[编辑本段]四、三角形内心定理   
  三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
  内心的性质：
  1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。
  2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
  3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
[编辑本段]五、三角形旁心定理   
  三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。
  旁心的性质：
  1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
  2、每个三角形都有三个旁心。 
  3、旁心到三边的距离相等。
  如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。 
  附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
[编辑本段]有关三角形五心的诗歌
  三角形五心歌（重外垂内旁）
  三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混． 
  重 心 
  三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 
  重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好．
  外 心 
  三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点． 
  此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键． 
  垂 心 
  三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整， 
  直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清. 
  内 心 
  三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源； 
  点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”如此定义理当然．

2. 三角形的定律

内角和为180°   两边之和大于第三边   两边之差小于第三边   
若为直角三角形，则直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）
若为等边三角形，三边相等，且各角都为60°

3. 三角形 的定律

根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
3-2<BC< 3+2
所以 1 < BC < 5.

4. 三角形的定律

三角形五心定理
    三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心.三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,内心定理,旁心定理的总称.
  [编辑本段]一、三角形重心定理
    三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单.（重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名） 
    重心的性质： 
    1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1. 
    2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比. 
    3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小. 
    4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3,（Y1+Y2+Y3)/3.
  [编辑本段]二、三角形外心定理   
    三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心.
    外心的性质：
    1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心.
    2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.
    3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合.
    4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c ). 
    5、外心到三顶点的距离相等
  [编辑本段]三、三角形垂心定理
    三角形的三条高（所在直线）交于一点,该点叫做三角形的垂心.
    垂心的性质：
    1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.
    2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
    3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.
    4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.
    定理证明
    已知：ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点O,连接CO并延长交AB于点F ,求证：CF⊥AB 
    证明： 
    连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE 
    ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC 
    ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 
    又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 
    因此,垂心定理成立!
  [编辑本段]四、三角形内心定理   
    三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心.
    内心的性质：
    1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.
    2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.
    3、P为ΔABC所在平面上任意一点,点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
  [编辑本段]五、三角形旁心定理   
    三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心,叫做三角形的旁心.
    旁心的性质：
    1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心.
    2、每个三角形都有三个旁心. 
    3、旁心到三边的距离相等.
    如图,点M就是△ABC的一个旁心.三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点.一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外. 
    附：三角形的中心：只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,四心合一.
  [编辑本段]有关三角形五心的诗歌
    三角形五心歌（重外垂内旁）
    三角形有五颗心,重外垂内和旁心, 五心性质很重要,认真掌握莫记混． 
    重 心 
    三条中线定相交,交点位置真奇巧, 交点命名为“重心”,重心性质要明了, 
    重心分割中线段,数段之比听分晓； 长短之比二比一,灵活运用掌握好．
    外 心 
    三角形有六元素,三个内角有三边． 作三边的中垂线,三线相交共一点． 
    此点定义为外心,用它可作外接圆． 内心外心莫记混,内切外接是关键． 
    垂 心 
    三角形上作三高,三高必于垂心交． 高线分割三角形,出现直角三对整, 
    直角三角形有十二,构成六对相似形, 四点共圆图中有,细心分析可找清. 
    内 心 
    三角对应三顶点,角角都有平分线, 三线相交定共点,叫做“内心”有根源； 
    点至三边均等距,可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”如此定义理当然．

5. 有关于三角形的所有定律

三角形相关定理 
重心定理 
三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍． 
上述交点叫做三角形的重心. 
外心定理 
三角形的三边的垂直平分线交于一点． 
这点叫做三角形的外心. 
垂心定理 
三角形的三条高交于一点． 
这点叫做三角形的垂心. 
内心定理 
三角形的三内角平分线交于一点． 
这点叫做三角形的内心. 
旁心定理 
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点． 
这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心． 
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心． 
它们都是三角形的重要相关点． 
中位线定理 
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 
三边关系定理 
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 
三角形面积计算公式 
S(面积)=a(边长)h(高)/2---三角形面积等于一边与这边上的高的积的一半 
[编辑本段]勾股定理 
在Rt三角形ABC中，A≤90度，则 
AB·AB+AC·AC=BC·BC 
A〉90度，则 
AB·AB+AC·AC>BC·BC

6. 三角形的定理是什么？

1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。
3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6 、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
7、 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
8、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c² ，那么这个三角形是直角三角形。
9、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
10、三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
11、三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
12、 等底同高的三角形面积相等。
13、 底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
14、三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
15、等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。
16、 在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。

7. 三角形有什么定理？

三角形的定理：
中位线定理
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
推论：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边。
中线定理
三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
勾股定理

勾股定理（毕达哥拉斯定理）内容为：在任何一个直角三角形中，两条直角边的长平方之和一定等于斜边长的平 方。几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，AB^2+BC^2=AC^2;
勾股定理的逆定理也成立，即两条边长的平方之和等于第三边长的平方，则这个三角形是直角三角形
射影定理
射影定理（欧几里得定理）内容为：在任何一个直角三角形中，作出斜边上的高，则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积。
正弦定理
内容：在任何一个三角形中，每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与三边边长和的乘积之比
余弦定理
内容：在任何一个三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的2倍乘以它们夹角的余弦
三角形介绍：
三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形是最基本的多边形。一般用大写英语字母为顶点标号，用小写英语字母表示边，用阿拉伯数字表示角。
三角形是在同一平面内，由不在同一条直线的三条线段首尾相接所得的封闭图形
三角形三个内角的和等于180度
三角形任何两边的和大于第三边
三角形任意两边之差小于第三边
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和

8. 三角定律是什么