托尔曼-奥本海默-沃尔科夫极限的方程形式

1. 托尔曼-奥本海默-沃尔科夫极限的方程形式

天体物理学中，托尔曼-奥本海默-沃尔科夫方程（英文：Tolman-Oppenheimer-Volkoff Equation，简称作TOV Equation）是在广义相对论框架下描述一个处在定态引力平衡状态下的各向同性球对称物体结构的约束方程。它所描述的是恒星在辐射压力和自身引力作用下的相对论性流体静力学平衡。方程的形式为  这里 是径向坐标，而我们用 和 分别是物质在其半径 处的密度和压力。 是在半径 以内物质的总质量，这是从远处的观察者所观察到的它的[[引力场]]的角度而言的（所谓远处，是指那里的度规不受到系统本身的引力场影响）。这个质量满足 ，并且有 这个方程的导出来自爱因斯坦引力场方程在一个广义的定态且球对称度规（不一定是史瓦西度规）条件下的解，具体讨论的导出过程可参考这里。这里简单叙述为，对于一个满足托尔曼-奥本海默-沃尔科夫方程的解，度规具有如下形式 其中 满足约束条件 当系统的状态方程（EOS，它建立了密度与压力的关系） 确定后，托尔曼-奥本海默-沃尔科夫方程能够完全决定这个球对称且各向同性的系统在引力平衡状态下的结构。注意到如果 项可忽略，托尔曼-奥本海默-沃尔科夫方程会退化成牛顿力学的流体静力学方程，这是当相对论修正不重要时求解球对称且各向同性的系统在引力平衡状态下的结构所需要的方程。托尔曼-奥本海默-沃尔科夫方程也因此特别叫做恒星的流体静力学平衡方程。如果这个方程被用来描述一个真空中的束缚星体，在边界上需要应用零压力条件 以及条件 。第二个边界条件是因为度规在边界上需要连续，并且对真空中的爱因斯坦方程具有唯一的定态球对称解——史瓦西度规：这里 是星体的总质量，这仍然是从远处的观察者所观察到的它的引力场的角度而言的。如果星体的边界处于 ，度规的连续性以及 的定义都要求但从另一方面看，如果考虑系统的引力场作用下的度规，将星体的密度在对应的体元下积分，将得到一个更大的质量函数这两个质量的差别为  　　这个值是大于零的，体现了星体因引力作用产生的束缚能量，也就是将星体内部的物质打散后抛到无限远处所要消耗的能量。

2. 奥本海默-弗尔科夫极限的相关背景

科学家们知道，质量过大的白矮星是不稳定的，强大的引力相互作用会使它继续压缩而变得更加致密，压缩的结果是最终可能只剩下中子。在1939年的早些时候，奥本海默与弗尔科夫（George Volkoff）证明就象白矮星一样，中子星也不能是无限致密的。他们考虑了爱因斯坦的相对论和量子力学来描述中子流体（neutron fluid）。但对中子星的核超过太阳质量70%的情形，他们没能得到稳定的解。现在天体物理学家的计算结果应当是太阳质量的两到三倍，我们把这个极限称为奥本海默-弗尔科夫极限。总之，对于一个足够大的星核，坍缩必须继续，但这次我们将得到什么呢？奥本海默与斯奈德在1939年回答了这个问题。既然一个静态的解是不可能的，他们就去寻找一直随时间变化的解，即连续的收缩。必须承认，当时的理论物理学家在应用爱因斯坦的理论时还缺少经验，并且当时没有计算机，所以他们不得不做了大量近似和假设。最终，他们获得了一个本质上正确的结果，即今天我们所说的黑洞。

3. 奥本海默-弗尔科夫极限的介绍

如果奥本海默没有领导美国的核计划——曼哈顿计划的话，他可能会以黑洞（Black hole）概念的提出者而被人们记住。1939年，奥本海默与他的研究生斯奈德（Hartland Snyder）在物理学评论（Physical review）上发表文章（Phys. Rev. 56, 455），描述了一个恒星可能会坍缩演化为一个十分致密的物体甚至光也无法摆脱它的引力束缚。这篇文章当时并没有引起大家的重视，直到1960年代，当天文学家开始认真地考虑这种极端的物体是可能存在的。普林斯顿大学的惠勒（John Wheeler）教授给这种物体命名为黑洞，现在这一概念已经成为天体物理中的标准元素。

4. 奥本海默-弗尔科夫极限的性质

对这种极端的物质存在形态，奥本海默与斯奈德认为收缩将是不可抵挡的。同时，任何逃逸出的辐射将受到越来越强的引力红移，为了克服引力，光的波长变的越来越长。观察者将看到坍缩中的星体将发出越来越红越来越暗的光。奥本海默的结论是：“恒星将逐渐把自己与外界的观察断绝开来；仅剩下它的引力场还存在着。”有意思的是，这一重要工作长期都未得到学术界的重视。奥本海默的文章还是不够严格，看起来可能存在某种特别的压力可以平衡掉引力以防止恒星收缩为黑洞。但在 1960年，惠勒及其他科学家的工作又使黑洞复活了，他们证明了无限制的收缩是不可避免的。历史上，黑洞概念对许多物理学家和天文学家是不可接受的，如著名苏联物理学家朗道（Lev Landau）甚至建议修改量子力学以避免黑洞不会出现。奥本海默和斯奈德的工作确实是与当时的流行观念是格格不入的，但他们的理论确实是对的。黑洞存在一个最小临界质量(半径), 所以人们不用担心实验室中的粒子回旋加速器会产生导致地球灭亡的黑洞.

5. 托尔曼-奥本海默-沃尔科夫极限的托尔曼-奥本海默-沃尔科夫极限

托尔曼-奥本海默-沃尔科夫极限（TOV极限，也叫奥本海默-沃尔科夫极限）即是中子星的质量上限，类似于白矮星质量上限的钱德拉塞卡极限。如上节所述，奥本海默和沃尔科夫得到的中子星质量上限约为0.7倍太阳质量，这在今天看来应该是错误的，当今的结果在1.5至3倍太阳质量之间 。对于质量小于此极限的中子星，支持星体的内部压力来自中子与中子之间的强相互作用以及中子本身的量子简并压力；而对于质量大于此极限的中子星会在自身引力的作用下崩溃，从而坍缩为一个黑洞，理论上在其他途径的内部压力支持下还可能成为其他形式的星体（例如在夸克简并压力的支持下坍缩为夸克星）。但由于对这些理论上的夸克简并物质了解相对中子简并物质更少，一般天体物理学家相信，除非有实际观测的反例证实，中子星在超过这一极限时都会直接坍缩为黑洞。一个由恒星坍缩成的黑洞必须具有大于托尔曼-奥本海默-沃尔科夫极限的质量。理论预言由于恒星演化中的质量损失，一个具有太阳那样金属量的孤立恒星坍缩而成的黑洞应该具有不超过10倍左右的太阳质量 。在钱德拉X射线天文台的实验观测中，有相当数量的X射线双星由于它们的巨大质量、较低的亮度以及X射线光谱被认为是恒星质量黑洞，它们的质量据估计在3倍至20倍太阳质量之间   。