卢卡斯数列的介绍

2024-05-13

1. 卢卡斯数列的介绍

卢卡斯数列 (Lucas Sequence) 和斐波那契数列 (Fibonacci Sequence) 有莫大的关系。故本人在介绍斐波那契数以后也得为卢卡斯数列多添一章。

卢卡斯数列的介绍

2. 卢卡斯数列的数列性质

卢卡斯数 (简记 Ln) 有很多性质和斐波那契数很相似。如 Ln = Ln-1 + Ln-2，其中不同的是 L1 = 1、 L2 = 3。所以卢卡斯数有：1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...... (OEIS A000204)，当中的平方数只有 1 和 4，这是由哥恩 (John H. E. Cohn) 证明的。而素数，即卢卡斯素数 (Lucas Prime) 则有： 3, 7, 11, 29, 47, ...... 。当中现在知道最大的拟素数 (Probable Prime) 为 L574219 ，此数达 120005位之多。我们有下列和卢卡斯数相关的恒等式：Ln2 - Ln-1Ln+1 = 5 (-1)nL12 + L22 + ...... + Ln2 = LnLn+1 - 2Lm+n = (5FmFn + LmLn) / 2 (式中的 Fn 为斐波那契数)Lm-n = (-1)n (LmLn - 5FmFn) / 2Ln2 - 5Fn2 = 4 (-1)n

3. 卢卡斯数列的有关资料

卢卡斯数列 (Lucas Sequence) 和费波拿契数列 (Fibonnacci Sequence) 有莫大的关系。故本人在介绍费波拿契数以後也得为卢卡斯数列多添一章。 先定义整数 P 和 Q 使 D = P2 - 4Q > 0， 从而得一方程 x2 - Px + Q = 0，其根为 a, b， 现定义卢卡斯数列为： Un(P,Q) = (an - bn) / (a-b) 及 Vn(P,Q) = an + bn 其中n 为非负整数，得 U0(P,Q) = 0、 U1(P,Q) = 1 、 V0(P,Q) = 2 、 V1(P,Q) = P、...... 我们有下列和卢卡斯数列相关的恒等式： Um+n = UmVn - anbnUm-n 、 Vm+n = VmVn - anbnVm-n  Um+1 = P*Um - Q*Um-1 、 Vm+1 = P*Vm - Q*Vm-1 (取 n = 1) U2n = UnVn 、 V2n = Vn2 - Qn U2n+1 = Un+1Vn - Qn 、 V2n+1 = Vn+1Vn - PQn 若取(P,Q) = (1,-1)，我们便有 Un 为费波拿契数， 即0、 1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、 34、 55、 89、 144、 233、 377、 610、 987、 1597、 2584、 4141、 6765等。 而Vn 为卢卡斯数 (Lucas Number)， 即2、 1、 3、 4、 7、 11、18、 29、 47、 76、 123、 199、 322、 521、 843、 1364、 2207、 3571、 5781、 9349 等。 若取(P,Q) = (2,-1)，我们便有 Un 为佩尔数 (Pell Number)， 即0、 1、 2、 5、 12、 29、 70、 169、 408、 985、 2378、 5741等。 而Vn 为佩尔 - 卢卡斯数 (Pell - Lucas Number) (详见另文《佩尔数列》)， 即2、 2、 6、 14、 34、 82、 198、 478、 1154、 2786、 6726等。 此等全都是数学界很有名的数列。 卢卡斯数的性质 卢卡斯数 (简记 Ln) 有很多性质和费波拿契数很相似。如 Ln = Ln-1 + Ln-2，其中不同的是 L1 = 1、 L2 = 3。 所以卢卡斯数有：1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...... (OEIS A000204)，当中的平方数只有 1 和 4，这是由哥恩 (John H. E. Cohn) 证明的。而素数，即卢卡斯素数 (Lucas Prime) 则有： 3, 7, 11, 29, 47, ...... 。当中现在知道最大的拟素数 (Probable Prime) 为 L574219 ，此数达 120005位之多。 我们有下列和卢卡斯数相关的恒等式： Ln2 - Ln-1Ln+1 = 5 (-1)n L12 + L22 + ...... + Ln2 = LnLn+1 - 2 Lm+n = (5FmFn + LmLn) / 2 (式中的 Fn 为费波拿契数) Lm-n = (-1)n (LmLn - 5FmFn) / 2 Ln2 - 5Fn2 = 4 (-1)n 卢卡斯素数龙虎榜 n 数位 发现者 年份  56003 11704 欧文 (Sean A. Irvine) / 禾达 (Bouk de Water) 2006  51169 10694 禾达 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst)2001

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卢卡斯数列的有关资料

4. 卢卡斯数列的参考资料

Caldwell, C. K. The Top Twenty: Lucas Number.Ribenboim, P. The Little Book of Bigger Prime , New York: Springer-Verlag, 1991Weisstein, E. W. Lucas Number. From MathWorld.

5. 卢卡斯数列的前两项是多少

卢卡斯数列就是以1、3为前两项的斐波那契数列
前十项为1、3、4、7、11、18、29、47、76、123

卢卡斯数列的前两项是多少

6. 卢卡斯数列通项公式

卢卡斯数列是斐波那契数和卢卡斯数的推广，以法国数学家爱德华·卢卡斯命名。
卢卡斯数列的通项公式为：f(n)=[(1+√5）/2]n+[(1-√5)/2]n
先定义整数 P 和 Q ，使满足一元二次方程判断法则：△= P＾2-4Q > 0，从而得一方程x＾2-Px+Q=0，其根为 a, b。
卢卡斯数列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契数列同样的性质。（我们可称之为斐波那契—卢卡斯递推：从第三项开始，每一项都等于前两项之和f(n) = f(n-1)+ f(n-2）。
这两个数列还有一种特殊的联系（如下表所示），F（n）*L（n）=F(2n），及L（n）=F（n-1)+F(n+1)
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
斐波那契数列F(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …
卢卡斯数列L(n) 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 …
F(n)*L(n) 1 3 8 21 55 144 377 987 2584 6765 …
类似的数列还有无限多个，我们称之为斐波那契—卢卡斯数列。
如1，4，5，9，14，23…，因为1，4开头，可记作F[1，4]，斐波那契数列就是F[1，1]，卢卡斯数列就是F[1，3]，斐波那契—卢卡斯数列就是F[a，b]。
斐波那契—卢卡斯数列之间的广泛联系
①任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。

7. 卢卡斯数列和斐波那契数列的区别

卢卡斯数列和斐波那契数列：数列表达式
Fn=Fn-1
+
Fn-2
不同的是两者的通用项表达式：卢卡斯数列：
f(n)=[(1+√5)/2]^n+[(1-√5)/2]^n
数列：1
3
4
7
11
18；斐波那契数列(又称黄金分割数列)：
f(n)=1/√5[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n
数列：1
1
2
3
5
8

卢卡斯数列和斐波那契数列的区别

8. 斐波那契—卢卡斯数列的定义

一般地，符合f(n) = f(n-1)+ f(n-2)，f(n-2)=f(n)- f(n-1)的整数数列f(n)，都是斐波那契—卢卡斯数列。为区别不同的斐波那契—卢卡斯数列，我们根据前两项来标定斐波那契—卢卡斯数列，如斐波那契数列：F[1,1]；卢卡斯数列：F[1,3]；数列1，4，5，9.，14，23…：F[1,4]；特别地，常数数列0，0，0…：F[0,0]，作为下述斐波那契—卢卡斯数列群的单位元素。 f(n+1)+f(n+2)=f(n+3)*1f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+6)=f(n+5)*4f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+10)=f(n+7)*11f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+14)=f(n+9)*29f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+18)=f(n+11)*76注意：1，4，11，29，76，…是卢卡斯数列的奇数项。 每一项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值，称为黄金特征。斐波那契数列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=…=1卢卡斯数列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5F[1，4]数列：|4*4-1*5|=|5*5-4*9|=…=11F[2，5]数列：|5*5-2*7|=|7*7-5*12|=…=11F[2，7]数列：|7*7-2*9|=|9*9-7*16|=…=31斐波那契数列的黄金特征1最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。而F[1，4]数列和F[2，5]数列的黄金特征是11，黄金特征31的数列除了F[2，7]外，还有F[3，8]，其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是成对出现的，他们都是： 利用f(n-2)= f(n)- f(n-1)，写出前面的项，如下表：  　　-5  -4  -3  -2  -1  0  1  2  3  4  5  6  黄金特征  F[1,1]  5  -3  2  -1  1  0  1  1  2  3  5  8  1  F[1,3]  -11  7  -4  3  -1  2  1  3  4  7  11  18  5  F[1,4]  -19  12  -7  5  -2  3  1  4  5  9  14  23  11  F[2,5]  -14  9  -5  4  -1  3  2  5  7  12  19  31  11  我们发现：斐波那契—卢卡斯数列与分数对应：F[1，1]的正负项绝对值相等，第0项为0，对应于整数。F[1，3]的正负项绝对值也相等，第0项为2，第1项为1，对应于分数1/2。而F[1，4]的正项绝对值与F[2，5]的负项绝对值相等，F[2，5]的正项绝对值与F[1，4]的负项绝对值相等，而且，他们的第0项都是3，第1项分别是1和2，所以他们对应互补的分数1/3和2/3，这样的数列就是孪生斐波那契—卢卡斯数列。每一对互补的分数（如1/4和3/4，1/5和4/5，2/5和3/5，或2/6和4/6等等)都对应一对孪生斐波那契—卢卡斯数列。