等腰三角形的性质定理和判定定理分别是什么

1. 等腰三角形的性质定理和判定定理分别是什么

2. 等腰直角三角形的定义定理性质

概念
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，它的特点是：

（1）两底角等于45°。

（2）两腰相等。

（3）等腰直角三角形三边比例为

。

性质
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一个角是直角），也是特殊的直角三角形（两条直角边等），因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质（如三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等）。

当然，等腰直角三角形同样具有一般三角形的性质，如正弦定理、余弦定理、角平分线定理、中线定理等。等腰直角三角形三边比例为

。

等腰直角三角形的判定
方法一：

根据定义，有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形。

方法二：

三边比例为

的三角形是等腰直角三角形。

证明：勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形，并且有两条边相等，满足等腰直角三角形的定义。

方法三：

底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。

证明：用三角形内角和定理求出角度分别为45°、45°、90°，满足等腰直角三角形的定义。

方法四：

有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

证明同方法三。

方法五：

直角边和斜边的比例为

的直角三角形是等腰直角三角形。

证明：根据勾股定理求出另一条直角边也是1，利用方法二判定。或根据反三角函数求出直角边所对角为45°，利用方法四判定。

方法六：

有一个角是45°，并且这个角两边长度比为

的三角形是等腰直角三角形。

证明：根据馀弦定理可求出第三边长为1，利用方法二判定。

方法七：

有一个角是45°，并且这个角所对的边和它的一条边长度比为

的三角形是等腰直角三角形。

证明：和方法六不同，如果长度为1的边不是45°角的邻边而是对边，则根据正弦定理求出长度为√2的边所对角为90°，再利用方法四判定。

特殊等腰直角三角形

斜边相等的直角三角形中，以等腰直角三角形的面积和周长最大。

解:首先证明面积最大的是它

将等腰Rt△ACB,任意Rt△AC'B都画出外接圆,AB为圆的直径。(其实这样做是为了满足斜边AB相等,且是直角三角形).再做CF⊥AB,C'F⊥AB.(蓝色辅助线)

由三线合一可知O和F重合，且易证OC>C'F'(根据垂径定理和直径是最长的弦得到)。

而CF是△ABC的高,C'F'是△ABC'的高,由面积公式

可知等腰Rt△ABC面积最大。

其次解:证明周长最大的还是它

延长BC到E,使CE=CA.延长BC'到D,使C'D=C'A.连接DE,AD,AE.

∵AC'⊥BD,AC⊥BE

∴△AC'D,△ACE都是等腰直角三角形

∴∠AEB=∠ADB=45°

∵D,E在线段AB同侧

∴ABED四点共圆

∵AC=BC=CE

∴∠EAB=90°(直角三角形斜边中线定理逆定理)

∴∠EDB=90°

∴BE>BD

又∵EB=AC+CB. BD=AC'+C'B.

∴AC+CB>AC'+C'B.

∵Rt△ACB周长=AB+(AC+CB).

Rt△AC'B周长=AB+(AC'+C'B).

∴等腰Rt△ABC周长最大。

3. 等腰三角形的性质定理和判定定理分别是什么？

等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等。
(即等边对等角）
等腰三角形的判定定理：
1、等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；
3、等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）
扩展资料：
等腰直角三角形的边角之间的关系
：
（1）三角形三内角和等于180°。
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（5）在同一个三角形内，等边对等角，等角对等边。
有关问题的证明：
已知：△ABC中，∠A=60°，且AB+AC=a，
求证：当三角形的周长最短时，三角形是等边三角形。
证明：AC=a-AB
根据余弦定理
BC2=AB2+BC2-2AB*BC*cosA
BC2=AB2+BC2-AB*BC=AB2+(a-AB)2-AB*(a-AB)=3AB2-3a*AB+a2=3(AB-a/2)2+a2/4
所以当AB=a/2时，BC=a/2最小
AC=a-a/2=a/2
这时，周长为AB+AC+BC=a+BC=a+a/2=3a/2最短
AB=AC=BC=a/2
所以当周长最短时的三角形是正三角形。

4. 等腰直角三角形的判定方法是什么？

等腰直角三角形三边关系：等腰直角三角形的斜边=√2倍的直角边。
有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形。底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一个角是直角），也是特殊的直角三角形（两条直角边等）。
因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质（如三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等）。



判定
方法一：
根据定义，有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形。
方法二：
三边比例为的三角形是等腰直角三角形。
证明：勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形，并且有两条边相等，满足等腰直角三角形的定义。
方法三：
底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。
证明：用三角形内角和定理求出角度分别为45°、45°、90°，满足等腰直角三角形的定义。
方法四：
有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

5. 等腰直角三角形的判定定理？

等腰直角三角形三边关系公式：等腰直角三角形的斜边＝√2倍的直角边。
等腰直角三角形三边比例为1:1:√2。等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，那么设内切圆的半径r为1，则外接圆的半径R就为√2+1，所以r:R=1:(√2+1)。

等腰直角三角形的判定方法
有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形；三边比例为1:1:√2的三角形是等腰直角三角形；底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形；有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

6. 等腰三角形性质及判定定理有哪些

 在初中数学的学习中，经常会碰到等腰三角形，我整理了等腰三角形的性质以及判定的方法，快来跟着我一起学习一下吧。
     
   等腰三角形特性   1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
   2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合。
   3.等腰三角形的两底角的平分线相等。
   4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
   等腰三角形判定   1.两边相等的三角形为等腰三角形。
   2.两底角相等的三角形为等腰三角形。
   3.中线和高合一的三角形为等腰三角形。
   4.角平分线和高合一的三角形为等腰三角形。
   5.一个三角形，底边上的中垂线是同一条线，可以判定是此三角形是等腰三角形。
   等腰直角三角形   等腰直角三角形是一种特殊的三角形，是特殊的等腰三角形，具有所有三角形的性质，稳定性，两直角边相等，直角边夹亦直角锐角45°，斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R。
   以上内容是我整理有关等腰三角形的知识，希望对大家有所帮助。

7. 等腰三角形的性质与判定定理

等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等。 (即等边对等角）
等腰三角形的判定定理：
1、等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；
3、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）

扩展资料：
等腰直角三角形的边角之间的关系 ：
（1）三角形三内角和等于180°。
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（5）在同一个三角形内，等边对等角，等角对等边。
有关问题的证明：
已知：△ABC中，∠A=60°，且AB+AC=a，
求证：当三角形的周长最短时，三角形是等边三角形。
证明：AC=a-AB
根据余弦定理
BC2=AB2+BC2-2AB*BC*cosA
BC2=AB2+BC2-AB*BC=AB2+(a-AB)2-AB*(a-AB)=3AB2-3a*AB+a2=3(AB-a/2)2+a2/4
所以当AB=a/2时，BC=a/2最小
AC=a-a/2=a/2
这时，周长为AB+AC+BC=a+BC=a+a/2=3a/2最短
AB=AC=BC=a/2
所以当周长最短时的三角形是正三角形。

8. 等腰三角形的判定定理和性质定理

30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形