误差修正模型的模型建立

1. 误差修正模型的模型建立

（1）Granger 表述定理误差修正模型有许多明显的优点：如 a）一阶差分项的使用消除了变量可能存在的趋势因素，从而避免了虚假回归问题； b）一阶差分项的使用也消除模型可能存在的多重共线性问题； c）误差修正项的引入保证了变量水平值的信息没有被忽视； d）由于误差修正项本身的平稳性，使得该模型可以用经典的回归方法进行估计，尤其是模型中差分项可以使用通常的t检验与F检验来进行选取。因此，一个重要的问题就是：是否变量间的关系都可以通过误差修正模型来表述？就此问题，Engle 与 Granger 1987年提出了著名的Grange表述定理（Granger representaion theorem）：如果变量X与Y是协整的，则它们间的短期非均衡关系总能由一个误差修正模型表述：ΔYt = lagged(ΔY,ΔX) − λμt − 1 + εt式中，μt − 1是非均衡误差项或者说成是长期均衡偏差项， λ是短期调整参数。对于(1,1)阶自回归分布滞后模型如果 Yt~I(1), Xt~I(1) ; 那么的左边ΔYt~I(0) ，右边的ΔXt ~I(0) ，因此，只有Y与X协整，才能保证右边也是I(0)。因此，建立误差修正模型，需要首先对变量进行协整分析，以发现变量之间的协整关系，即长期均衡关系，并以这种关系构成误差修正项。然后建立短期模型，将误差修正项看作一个解释变量，连同其它反映短期波动的解释变量一起，建立短期模型，即误差修正模型。（2）Engle-Granger两步法由协整与误差修正模型的的关系，可以得到误差修正模型建立的E-G两步法： 第一步，进行协整回归（OLS法），检验变量间的协整关系，估计协整向量（长期均衡关系参数）； 第二步，若协整性存在，则以第一步求到的残差作为非均衡误差项加入到误差修正模型中，并用OLS法估计相应参数。 需要注意的是：在进行变量间的协整检验时，如有必要可在协整回归式中加入趋势项，这时，对残差项的稳定性检验就无须再设趋势项。 另外，第二步中变量差分滞后项的多少，可以残差项序列是否存在自相关性来判断，如果存在自相关，则应加入变量差分的滞后项。（3）直接估计法也可以采用打开误差修整模型中非均衡误差项括号的方法直接用OLS法估计模型。 但仍需事先对变量间的协整关系进行检验。如对双变量误差修正模型可打开非均衡误差项的括号直接估计下式：这时短期弹性与长期弹性可一并获得。 需注意的是，用不同方法建立的误差修正模型结果也往往不一样。

2. 误差修正模型，关于协整检验的问题

好问题。

首先I(0)没问题，就算差分变成I(-1)，也是super-stationary。符合要求。

关键在于那个I(2)。资本相关的很多变量都是I(2)。你说的那个差分的办法是最简单的一种解决办法。但之后你用ECM的时候，势必还会遇到差分的差分的资本变量。结果能算出来，但是这个变量的经济含义就比较难以解释。

实际上有很多理论和应用的研究关于如何合理巧妙的将I(2)转变为I(1)，学术上一般叫做I(2)-to-I(1)。其中，很多文章就是用资本相关的变量做例子。

当然，如果你只是为了完成论文，或者有时间限制的话，可以直接用你说的差分的办法。但是，有机会看看下面的论文，对你理解ECM，cointegration，特别是I(2) series 有帮助：

Haldrup, N., 1998. An econometric analysis of I(2) variables. Journal of Economic Surveys, 12, 595-650.



Johansen, S., 1992. A representation of vector autoregressive processes integrated of order 2. Econometric Theory, 8, 188–202.




Johansen, S., 1995. A statistical analysis of cointegration for I(2) variables. Econometric Theory, 11, 25–59.




Johansen, S., 1997. Likelihood analysis of the I(2) model. Scandinavian Journal of Statistics, 24, 433–62.




Johansen, S., 2006. Statistical analysis of hypotheses on the cointegrating relations in the I(2) model. Journal of Econometrics, 132, 81–115.

3. 协整检验通过了但误差修正模型中有自变量不显著怎么办呀

  有一种可能是这个不显著是真实结果的反映。那么，你可以从估计的模型考虑是否需要修正。
  先做单位根检验，看变量序列是否平稳序列，若平稳，可构造回归模型等经典计量经济学模型；若非平稳，进行差分，当进行到第i次差分时序列平稳，则服从i阶单整(注意趋势、截距不同情况选择，根据P值和原假设判定)。若所有检验序列均服从同阶单整，可构造VAR模型，做协整检验(注意滞后期的选择)，判断模型内部变量间是否存在协整关系，即是否存在长期均衡关系。如果有，则可以构造VEC模型或者进行Granger因果检验，检验变量之间“谁引起谁变化”，即因果关系。

4. 为什么协整需要误差修正项

一、协整检验及误差修正模型的简介

传统统计方法和计量经济学模型主要是针对平稳时间序列来进行处理的，而对汇率和股价数据进行研究时，通常假设这些数据和产生这些数据的随机过程是平稳过程。所谓平稳过程是指，如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常数，并且在任何两时期之间的协方差仅仅依赖于该两时期间的距离，而不依赖于计算这个协方差的实际时间。但是，这些数据并不具有平稳过程的特征，用传统方法进行分析会出现极不真实的结果或所谓虚假回归（Spurious Regression）。当仅若干个非平稳变量具有协整关系时，由这些变量建立的回归模型才有意义，所以协整性检验也是区别真实回归和虚假回归的有效方法。今天在动态计量模型中，稳定性以及协整检验是日常使用的必不可少的工具。协整分析已被证明在下述环境下特别有价值，即短期动态受随机扰动的影响巨大而长期变化却要同时受制于各种均衡经济关系。

协整分析是针对非平稳时间序列，通常是单整时间序列来进行的。一般情况下，将一个单整序列对另一个单整序列进行回归可能会导致荒谬的结果，因为传统的显著性检验说明变量之间的关系事实上是不存在的，这就是为什么要对变量进行单整检验的原因。如果要对单整序列进行回归，可行的方法是对它进行差分，但差分会导致两个变量之间的长期关系的损失。而协整分析则可以很好地利用这些信息。通过协整分析可以检验变量之间是否存在稳定的长期关系。实际上，如果存在长期稳定的关系，说明变量之间的关系可以用相应的经济理论来解释，所以对变量的协整检验就是对经济理论正确性的检验。

对汇率而言，主要是检验它与其他经济变量之间是否存在稳定的关系，因为虽然事实检验说明汇率及GDP、物价指数等变量都是单整时间序列，但经济理论特别是汇率决定理论告诉我们这些变量之间有着很大的联系，是相互影响的，所以有必要对汇率与其他经济变量如股价进行协整关系的检验。

Engle－Granger（1987）对向量时间序列中的协整关系进行了统计描述。在以后的10多年里经过Hendry（1989），Granger（1986，1995），Johansen（1988～1991），Philips－Perron（1988），Philips（1986～1994）等人的发展和完善，协整建模的理论和方法已日趋成熟，在非平稳向量时间序列的建模实践中得到了广泛的应用。协整分析描述了多变量时间序列中分量之间的长期线性均衡关系，协整建模的出发点是变量的数据生成过程，如果向量时间序列中的每一分量都是单整的，但这些分量序列的某个线性组合是一个平稳序列，那么这些分量序列就是协整的。所以向量时间序列之间的协整关系反应了变量之间的长期均衡关系，并通过误差修正模型（ECM）调整短期内各变量对长期均衡关系的偏离。协整分析的对象是所谓的单整序列，在进行序列的协整分析前，必须首先对序列进行单位根检验。其检验方法很多，最常用的是DF、ADF检验。DF、ADF检验是由Dickey和Fuller（1979，1980）提出的单位根检验方法。

（一）单整的DF检验

考虑典型的非平稳序列——随机游动模型:



其特征多项式:f（λ）＝1－λ有单位根λ＝1

这样，时间序列｛xt｝的单位根检验相当于下面线性回归中的显著性检验:



若拒绝H0，则称xt没有单位根，此时，xt是平稳的；否则，称xt有单位根，此时，xt是非平稳的，至少为1阶单整I（1）。

由于在H0成立时，xt是非平稳的，因而此时进行回归系数显著性检验所用的t统计量即使在大样本的情形，也不服从t分布。为此，Dickey和Fuller提出了以他们的名字命名的DF检验。检验用的统计量即为常规的t统计量，称之为τ统计量。其临界值则由模拟得到。因为τ的临界值为负值，参数δ的估计量一般为负，其t统计量也为负。所以，统计量小于临界值相当于其绝对值大于临界值的绝对值。这样，若τ＜临界值，则拒绝H0；否则，不拒绝H0。

通过了1阶单整检验后，再建立如下方程:



进行同样过程的检验，如果通过检验，则序列xt至少为2阶单整I（2）……直到不能通过检验为止。通过该检验，同时也就确定了序列xt的单整的阶数。

DF检验常考虑以下形式的线性回归。

若随机扰动项εt没有自相关，则取回归:

模型1:（无常数项）



模型2:（有常数项）



模型3:（有常数项并加入时间趋势项）



零假设为H0:δ＝0（即ρ＝1）

（二）单整的ADF检验

在DF检验中，由于不能保证方程中的εt是白噪声，所以也不能保证得到的δ的估计值是无偏的。于是Dickey和Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF（Augment Dickey－Fuller）检验，这是目前普遍应用的单整检验方法。

在ADF检验中，为了保证方程中的εt是白噪声，在方程右边加了一些滞后项。于是单位根检验的回归方程分为模型1（无常数项）、模型2（有常数项）、模型3（有常数项并加入时间趋势项）三种。



实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1，何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为平稳序列，何时检验停止。注意，这里的零假设为H0:δ＝0。在对模型1，2，3进行检验时，有各自相应的临界值表。

（三）协整（Cointegration）

1.定义及意义

如果序列X1t，X2t，…，Xkt都是d阶单整，存在一个向量α＝（α1，α2，…，αk），使Zt＝αXt′～I（d－b），其中，b＞0，Xt′＝（X1t，X2t，…，Xkt）′，则认为序列X1t，X2t，…，Xkt是（d，b）阶协整，记为Xt～CI（d，b），α为协整向量。

由此可见，如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶相同时，才可能协整。协整的经济意义在于:两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。反过来，如果两个变量，具有各自的长期波动规律，但是它们不是协整的，则它们之间就不存在着一个长期稳定的比例关系。

2.协整的检验—Engle－Granger检验

为了检验两变量Yt、Xt是否为协整，Engle和Granger于1987年提出两步检验法，也称为EG检验。

第一步，用OLS方法估计下列方程:



得到:



称为协整回归。

第二步，检验e＾t的单整性。如果e＾t为稳定序列，则认为变量Yt，Xt为（1，1）阶协整；如果e＾t为1阶单整，则认为变量Yt，Xt为（2，1）阶协整……。检验e＾t的单整性的方法即是上述ADF检验。

3.Johansen的协整检验法

E－G两步法简单有效，而且理论上又可以得到一致的估计量，所以得到了广泛的运用。但是该方法只适用于存在一个协整关系的系统，对于多个协整关系的检验和估计就无能为力了，这时Johansen（1988，1991）的似然比检验就有用得多了。Johansen的协整检验法是基于P阶向量自回归（VAR）模型:

这里T是可用的观察值的数目；εt独止同分布，且每个εt是均值为零，方差为Λ的P维高斯过程。令Δ＝1－L，这里L为滞后算子，可将方程（4－14）表示为一阶差分形式:





若不考虑∏Xt－k，方程（4－15）就是传统的一阶差分VAR模型。系数矩阵∏包含了以数据向量形式表示的变量之间的有关长期联系的信息，共有三种可能:①Rank（∏）＝P，即矩阵∏满秩，表示向量过程是平稳的。②Rank（∏）＝0，即矩阵∏是零矩阵，方程（4－16）相当于传统的差分向量时间序列模型。③Rank（∏）＝r＜P，隐含着存在p×r矩阵α和β，使∏＝αβ′。协整向量β具有如下性质:即使Xt自身是非平稳的，β′Xt也是平稳的。

矩阵∏的秩等于独立的协整向量的个数。Johansen检验就是在假设H2:∏＝αβ′下，通过检验矩阵∏的特征根的显著性，确定出协整向量个数。检验步骤如下:

（1）进行辅助回归，得出两个残差矩阵，即将ΔXt对ΔXt－1，…ΔXt－K＋1，1回归，得残差R0t；Xt－K对ΔXt－1，…ΔXt－K＋1，1回归，得残差Rkt。定义残差的乘积矩阵为:



（2）解如下方程:｜λSkk－｜＝0（4－18）

（3）应用两个检验统计量:p



第一个统计量λtrace用来检验协整向量个数小于等于r的零假设，备择假设为协整向量个数大于r；第二个统计量λmax（r│r＋1）用来检验协整向量等于r的零假设，备择假设为协整向量个数为r＋1。

（四）误差修正模型（ECM）及向量误差修正模型（VEC）

误差修正模型（Error Correction Model）是一种具有特定形式的计量经济学模型。为了便于理解，下面通过一个具体的模型来介绍它的结构。

对于（1，1）阶自回归分布滞后模型:



移项后得到方程（2）即为误差修正模型。其中:



为误差修正项，或协整式。

5. 误差修正模型该怎么解释

6. 误差修正模型是什么？

误差修正模型（error correction model，简记为ECM）是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，称为DHSY模型。
建立误差修正模型，首先对变量进行协整分析，以发现变量之间的协整关系，即长期均衡关系，并以这种关系构成误差修正项。 然后建立短期模型，将误差修正项看作一个解释变量，连同其它反映短期波动的解释变量一起，建立短期模型，即误差修正模型。

Engle-Granger两步法
由协整与误差修正模型的的关系，可以得到误差修正模型建立的E-G两步法：
第一步，进行协整回归（OLS法），检验变量间的协整关系，估计协整向量（长期均衡关系参数）；
第二步，若协整性存在，则以第一步求到的残差作为非均衡误差项加入到误差修正模型中，并用OLS法估计相应参数。
需要注意的是：在进行变量间的协整检验时，如有必要可在协整回归式中加入趋势项，这时，对残差项的稳定性检验就无须再设趋势项。 另外，第二步中变量差分滞后项的多少，可以残差项序列是否存在自相关性来判断，如果存在自相关，则应加入变量差分的滞后项。

7. 误差修正模型的结构

为了便于理解，我们通过一个具体的模型来介绍它的结构。假设两变量X与Y的长期均衡关系为:Yt = α0 + α1Xt + μt由于现实经济中X与Y很少处在均衡点上，因此实际观测到的只是X与Y间的短期的或非均衡的关系，假设具有如下(1,1)阶分布滞后形式该模型显示出第t期的Y值，不仅与X的变化有关，而且与t-1期X与Y的状态值有关。由于变量可能是非平稳的，因此不能直接运用OLS法。对上述分布滞后模型适当变形得： (**) , 式中，λ = 1 − μ，， 如果将（**）中的参数，与Yt = α0 + α1Xt + μt中的相应参数视为相等，则（**）式中括号内的项就是t-1期的非均衡误差项。（**）式表明：Y的变化决定于X的变化以及前一时期的非均衡程度。同时，（**）式也弥补了简单差分模型ΔY1 = ΔXt + vt的不足，因为该式含有用X、Y水平值表示的前期非均衡程度。因此，Y的值已对前期的非均衡程度作出了修正。(**) 　称为一阶误差修正模型(first-order error correction model)。（**）式可以写成： 其中:ecm表示误差修正项。由分布滞后模型知：一般情况下|μ|<1 ，由关系式μ得0<λ<1。可以据此分析ecm的修正作用：(1)若(t-1)时刻Y大于其长期均衡解α0 + α1X，ecm为正，则(-λecm)为负，使得ΔYt减少；(2)若(t-1)时刻Y小于其长期均衡解α0 + α1X，ecm为负，则(-λecm)为正，使得ΔYt增大。（***）体现了长期非均衡误差对的控制。 　需要注意的是：在实际分析中，变量常以对数的形式出现。其主要原因在于变量对数的差分近似地等于该变量的变化率，而经济变量的变化率常常是稳定序列，因此适合于包含在经典回归方程中。于是:(1)长期均衡模型Yt = α0 + α1Xt + μt中的α1可视为Y关于X的长期弹性（long-run elasticity）(2)短期非均衡模型 中的β1可视为Y关于X的短期弹性（short-run elasticity）。更复杂的误差修正模型可依照一阶误差修正模型类似地建立。

8. 误差修正模型的产生原因

误差修正模型（Error Correction Model）对于非稳定时间序列，可通过差分的方法将其化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析模型。如：建立人均消费水平（Y）与人均可支配收入（X）之间的回归模型：Yt = α0 + α1Xt + μt如果Y与X具有共同的向上或向下的变化趋势,进行差分，X,Y成为平稳序列，建立差分回归模型得：ΔYt = α1ΔXt + vt 式中，vt = μt − μt − 1然而，这种做法会引起两个问题： (1)如果X与Y间存在着长期稳定的均衡关系 Yt = α0 + α1Xt + μt 且误差项μt不存在序列相关，则差分式 ΔYt = α1ΔXt + vt 中的vt是一个一阶移动平均时间序列，因而是序列相关的；(2)如果采用差分形式进行估计，则关于变量水平值的重要信息将被忽略，这时模型只表达了X与Y间的短期关系，而没有揭示它们间的长期关系。因为，从长期均衡的观点看，Y在第t期的变化不仅取决于X本身的变化，还取决于X与Y在t-1期末的状态，尤其是X与Y在t-1期的不平衡程度。 另外，使用差分变量也往往会得出不能令人满意回归方程。例如，使用ΔY1 = ΔXt + vt 回归时，很少出现截距项显著为零的情况，即我们常常会得到如下形式的方程：式中，（*）在X保持不变时，如果模型存在静态均衡（static equilibrium），Y也会保持它的长期均衡值不变。但如果使用（*）式，即使X保持不变，Y也会处于长期上升或下降的过程中，这意味着X与Y间不存在静态均衡。这与大多数具有静态均衡的经济理论假说不相符。可见，简单差分不一定能解决非平稳时间序列所遇到的全部问题，因此，误差修正模型便应运而生。误差修正模型建立的作用为了增强模型的精度，将协整回归中的误差项et看做均衡误差，通过建立短期动态模型来弥补长期静态模型的不足。