勾股定理最本质的证法是什么？

1. 勾股定理最本质的证法是什么？

勾股定理中的数学思想



数学思想是解决数学问题的灵魂，正确运用数学思想也是解题成功的关键。在运用勾股定理解题时，尤其应注重数学思想的运用。那么勾股定理解题时，蕴含了哪些数学思想呢？现就勾股定理中的常用的数学思想举例说明。

一、方程思想

例1 如图1，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，△ABD沿BD对折，交DC于F，求CF的长？



解：由题意得：△ABD≌△EBD，

所以∠ABD＝∠EBD。

又因为AB‖DC，

所以∠ABD＝∠BDC，

所以∠EBD＝∠BDC，

所以BF＝DF。

设CF＝x，

则BF＝DF＝8－x。

在Rt△BCF中，

即

解得，

所以


二、分类讨论思想

例2 一个等腰三角形的周长为14cm，一边长4cm，求底边上的高。

解：（1）若4cm为腰长时，则底边长为6cm，则底边上的高。

（2）若4cm为底边长时，则腰长为5cm，则底边上的高。

所以底边上的高。


三、数形结合思想

例3 如图2，在一棵树的10米 高处有两只猴子，其中一只爬下树直向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？



解：设BD＝x米，由题意得，

CD＝（20－x）米，AC＝10米。

在Rt△ACD中，∠CAD＝90°，

所以

即，

解方程得米。

则这棵树的高度为（）米。

答：这棵树的高度为（）米。


四、转化思想

例4 如图3，长方体的长AB＝15cm，宽BC＝10cm，高BF＝20cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从点A爬到点G，需要爬行的最短路程是多少？



解：有三种情况：

（1）如图4：



路径AG则为蚂蚁爬行的最短路程，

在Rt△ACG中，

∠ACG＝90°，AC＝25cm，CG＝20cm，则



（2）如图5：



路径AG则为蚂蚁爬行的最短路程，

在Rt△ABG中，

∠ABG＝90°，AB＝15cm，BG＝30cm，则



（3）如图6：



路径AG则为蚂蚁爬行的最短路程，

在Rt△AFG中，

∠AFG＝90°，AF＝35cm，FG＝10cm，则



因为

所以蚂蚁爬行的最短路程为：

勾股定理是人类的瑰宝，数学的奇葩，勾股定理中蕴含了丰富的数学思想，现撷取了勾股定理中的部分数学思想，以起抛砖引玉的作用。

2. 勾股定理实质上说的是，直角三角形勾、股、弦上三个正方形的面积之间的关系（如图（1））有，a^2+b^2=c^2

1 2 的假设都可以成立，
理由基于给定的直角三角形的三边之间的恒定关系。
在正三角形中，得到底边的长度，则面积是
底边长的平方*3/4
这是一个恒定的比例，都是在原有比上*3/4，本质没有区别。总面积*3/4不受影响。
同理，在圆形中
半圆的面积等于直径的平方/4* TT（派）

简单的事例代入，边长  6 8 10 的直角三角形，三边半圆的面积分别为
9/2 派平方 16/2派平方 25/2派平方
而
9/2 派平方 + 16/2派平方 = 25/2派平方

所以，用X带入证明也是一样的

3. 为什么毕达哥拉斯定理又称为勾股定理？

在平面几何中，有这样一条著名的定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即c平方等于a平方加上b平方。西方人认为这定理是毕达哥拉斯在公元前500年发现的，所以称为毕达哥拉斯定理。

4. 谁能试图推翻勾股定理？

一个试图推翻《勾股定理》的悖论
    “勾三股四弦五”，说的是一个直角三角形的两条直角边分别为“三”（与后面的“四”“五”长度量纲一致）、“四”的时候，它的斜边就一定是“五”。大概现在的高年级小学生都知道。对于直角三角形三条边的关系来说，这是一个“特例”。作为一般情况，“直角三角形斜边（长度数值）的平方，等于两个直角边（长度数值）的平方和”，就是《勾股定理》所要表达的内容。在中学数学教材中，一般用几何方法给出证明。
    可是，“人生识字糊涂始”。到了学习“极限”之后，却出现了这样的一个悖论：“通过极限运算，可以让勾股定理失效－－用不断进行几何分割的方法，可以得出一个这样的结论：直角三角形斜边的长度等于两条直角边长度之和”。
    这不是违反常理吗？谁都能一眼就看出来，一个直角三角形的斜边怎么可能等于两条直角边之和呢！
    不错,它的确违反了“三角形（当然包括直角三角形啦）两边之和大于第三边”的常理，连“看”都不需要，谁没有见过“直角三角形”啊。
    要不怎么说它是“悖论”呢。
    那么，如果你学过“极限”概念，你就试一试驳倒它。
    下面就是这个悖论的内容：
    画一个直角三角形，1.切割：从斜边的中点（不一定是“中点”。说“中点”为的是容易想象）分别向两条直角边做垂线，得到一个矩形和两个小的直角三角形；2.保留两个小直角三角形，把矩形的两条多余的边去掉。这样，两个小直角三角形的四条直角边长度之和，等于原来直角三角形两条直角边之和。换句话说，由这四条直角边组成的折线的长度等于原来两条直角边长度之和；3.在两个小直角三角形内，重复上述工作，得到八条“直角边”组成的折线，折线长度仍然等于原来两条直角边长度之和........如此下去，可以看出，那条折线将无限趋近原来直角三角形的斜边。于是得出结论：折线长度的极限是那条斜边。所以，直角三角形的斜边等于两条直角边之和！
    如果你的数学老师已经告诉你这个论断之所以是悖论，其关键在什么地方，或者你一下子就已经抓住了问题的本质，就笑一笑算了－－这等小儿科的问题还拿到这儿来，简直是“弱智”！
    如果你学过“极限”但是从来没有听说过这个悖论，那么就先试着自己找一下这个悖论的“悖”在什么地方。可以肯定，如果你的思维方式仍然停留在“这违反常理”或者是“一眼就看出来”的阶段，是无法从数学角度来揭穿这个悖论的。尽管它的确“违反常理”，的确是能够“一眼就看出来”。然而，有的时候，有些事情往往与你的“常理”不符是由于你的“常理”本来就是你的主观想象而不是客观事实，或者你的“一眼就看出来”恰恰是由你的不符合客观事实的“常理”所决定的呢！所以，遇事还是应该理性地探讨。就算是“一眼就能看出来”的事情，比如这个悖论所表达的内容，找一下它的问题究竟在哪里，也不啻是一个好的习惯。
    说穿了，这个悖论的形成，是以模糊的“近似”取代“客观存在的事实”的结果。
    在这个问题上，事实是什么？事实是，在进行“无限次分割”的过程中，除了“折线”的两个端点和那些“分割点”（它们本来就在那个斜边上）以外，折线上的其它点，是永远不会“无限”“趋近于”斜边的。那些小直角边上的所有点，都顽强地坚守着自己的岗位，决不肯与斜边“亲密接触”的。无论你“分割”得多么细，小直角三角形小到什么程度。这个悖论的关键就在于，“折线无限趋近于斜边”，是在几何意义上给人们的一个宏观的“直观错觉”，是蒙人的假象！倘若只看“宏观”而不进行“微观”的观察分析，就很容易让这个经不住“推敲”的论断所迷惑，似乎“折线”真的以斜边为极限。实际上，在进行“分割”的任何一个步骤上，把折线的两个端点从直角三角形的斜边上放开，扯直，得到的线段其长度值都是两个直角边长度之和而不是斜边的长度。这与你“分割”不“分割”没有任何关系。或者说，在“分割”过程中，每一个“小直角三角形”都一直遵循《勾股定理》，它的斜边（原来直角三角形斜边的一个小的局部）的长度值一直等于那个小三角形的两个直角边长度之平方和的平方根。这个规律一直不变，哪怕你的分割次数趋于无穷。那些“无限次分割”白白浪费人们的想象力，是把人一步步引向“歧途”的手段。
    这个悖论是一种狡猾的诡辩。其实质就在于，抛开《勾股定理》是欧几里得几何学的一个基本原理的客观实际，利用人们有时候会有意无意忽略细节的浮躁习气，让人通过被误导的、近似的、模糊的想象，打着“求极限”的幌子，引导别人得出似是而非的直观判断，进而根据这个判断得出违反《勾股定理》的荒唐结论。

5. 勾股数问题

这些勾股数的共同特点是：
　　①以上各组数均满足a2＋b2＝c2；
　　②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；
　　③最小奇数的平方等于另外两个连续整数的和，如32＝9＝4＋5，
52＝25＝12＋12，72＝49＝24＋25……
　　由以上特点，我们可以猜想这样一个结论：设m是大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2＝n＋（n＋1），则m，n，n＋1就构成一组勾股数．
　　证明： ∵　m2＝n＋（n＋1），
　　∴　m2＋n2＝2n＋1＋n2＝（n＋1）2．
　　根据勾股定理的逆定理，m，n，n＋1能够成为直角三角形的三边长．
　　∴　m，n，n＋1是一组勾股数．
（2）运用上面得到的结论，当a＝17时，
　　∵　172＝289＝144＋145，
　　∴　b＝144，c＝145．
　　【小结】 这道开放型例题实质上给我们提供了一种寻找勾股数的方法：先任意选定一个大于1的奇数，然后再把这个奇数的平方写成两个连续整数的和，则由这个奇数和分成的两个连续整数就构成了一组勾股数，如212＝441＝220＋221，则21，220，221就是一组勾股数.运用此种方法，我们可以快速地写出很多组勾股数．

6. 好玩的数学内容

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7. 勾股定理的纯数学证法！ 几何证法和三角函数证法都是用“结果证明结果”

有很多几何证明法都是正确的。
中间用到的是正方形的面积公式，这个和勾股定理不相关的
比如：

8. 勾股定理和两点距离公式

这是1-3题的、应该能看清。。。 
第四题：设M(x,y) y=|10|
              当y=-10时，AM最小距离=11，不合题意，舍
        ∴M(x,10)
              ∵AM=10   A(-4,2)
              ∴（x+4)²+（10-2)²=10²
             x²+8x+16+64=100
                              x²+8x-20=0
                          (x+10)(x-2)=0
              ∴x=-10或x=2
              ∴M(-10,10)或M(2,10)
累死我了。。。5、6题表述不清、爱莫能助了。。。