函数f(x)在负无穷到正无穷内满足，f(x)=f(x)导数，且f(x)等于0，证明f(x)=e^x

1. 函数f(x)在负无穷到正无穷内满足，f(x)=f(x)导数，且f(x)等于0，证明f(x)=e^x

且f(x)等于0？
你都说了，f（x）=0，那还证明啥？
是f（x）≠0吧？
而且就算是这样，也证明不了f（x）=e^x
只能证明f（x）=ce^x（c是任意常数）
也就是说f（x）=2e^x；f（x）=-5e^x；f（x）=0.9e^x等等，都满足f（x）=f'（x）的要求。
并不是只有f（x）=e^x这一个才满足f（x）=f'（x）的要求。
其中你的题目就是求y'=y，即y'-y=0这样一个微分方程。
这样的微分方程的解法，已经是有套路了的，
其解就是y=ce^x（c是任意常数），有无数个符合方程的函数。

2. 证明:若f(x)在负无穷大到正无穷满足f(x)的导数=f(x)且f(0)=1,证明f(x)=e的x次方

f'(x)=f(x)
f'(x)/f(x)=1
(ln|f(x)|)'=1
两边积分：ln|f(x)|=x+C
令x=0得：0=0+C,C=0
所以ln|f(x)|=x
f(x)=±e^x
而f(0)=1
所以f(x)=e^x

3. 证明:若f(x)在负无穷大到正无穷满足f(x)的导数=f(x)且f(0)=1,证明f(x)=e的x次方

f'(x)=f(x)
  f'(x)/f(x)=1
  (ln|f(x)|)'=1
  两边积分：ln|f(x)|=x+C
  令x=0得：0=0+C,C=0
  所以ln|f(x)|=x
  f(x)=±e^x
  而f(0)=1
  所以f(x)=e^x

4. 设函数在f（x）在（0，正无穷）内可导，且f（e ^x）=x+e^x，则f'(1)=

f(e^x) = x + e^x，
f(t) = lnt + t，
f'(t) = 1/t + 1，
f'(1) = 1/1 + 1 = 2。

5. 已知函数f（x）在正无穷到负无穷内可导，f'（0）=e，且对任意的x，y满足f（x+y）=exf（

f'(x)=lim(y->0) [f(x+y)-f(x)]/y
=lim [e^x*f(y)+e^y*f(x)-f(x)]/y
=lim e^x*f(y)/y + lim f(x)(e^y-1)/y
=e^x*limf(y)/y + f(x)lim (e^y-1)/y
=e^x*f'(0) + f(x)
=e^x*e+f(x)
=f(x)+e^(x+1)
即可

6. 设函数f(x)在( 0,正无穷)内可导且f(e^x)=x+e^x,则f(-1)导为多少

解
令t=e^x,t>0
∴lnt=x
∴f(t)=lnt+t
∴f'(t)=1/t+1
∴f‘(-1)=1/(-1)+1=0

7. 设f(x)在负无穷到正无穷上可导,证明:如果f(x)是奇函数,则其导数是偶函数

f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)
f'(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
f'(-x)=lim(Δx→0)[f(-x+Δx)-f(-x)]/Δx=lim(Δx→0)[-f(x-Δx)+f(x)]/Δx=lim(-Δx→0)[f(x-Δx)-f(x)]/(-Δx)
f'(-x)=f'(x)，所以f'(x)是偶函数

8. 假设f(x)在负无穷到正无穷内无穷次可导且满足

证明：
1.
f 的任意阶导数也连续。
因为 f(1/m)=f(1/(m+1))=0 所以存在 1/(m+1)< x_1_m<1/m, 使得 f'(x_1_m)=0, m=1,2,...
x_1_m --> 0, 所以 f'(0)=lim(m-->无穷大）f'( x_1_m)=0
归纳法：
设存在 x_n_1>x_n_2>... >0 使得 f的n阶导数 在 x_n_i, i=1,2,.. ，处=0，x_n_m -->0.  f的n阶导数 在 x=0处=0
于是，任给 m>0, 存在 x_n_(m+1)<x_(n+1)_m<x_n_m,使得 f的n+1阶导数 在 x_(n+1)_m处=0，
于是 根据 f的n+1阶导数 在 x=0处=0.
所以 f(0)任意次导数=0
2.
任给 x, 任给正整数n. 存在 t 使得：
f(x)=f(0)+f的1阶导数（0）/1! + f的2阶导数（0）/2! + f的n-1阶导数（0）/(n-1)! + f的n阶导数（t）/n!
=  f的n阶导数（t）/n!
==》 
|f(x)| <= M/n!
令 n--> 无穷大， 得 f(x)=0