ae＝af，bd＝cd，证明:ab＝ac

1. ae＝af，bd＝cd，证明:ab＝ac

解答:根据题意:
直线L:y=k(x-4);抛物线:y^2=4x; (K≠0)
联立两式子，整理可得:
k^2X^2-(8k^2+4)x+16K^2=0;
根据韦达定理:X1+X2=8+k^2/4;X1X2=16;
所以:y1+y2=k(x1-4)+k(x2-4)=K(X1+X2)-8K=4/k;(K≠0)
因此:AP的中点o(X1/2+2;y1/2)为圆心;
半径R=|AP|/2=]1/2√[(X1-4)^2+y1^2] ;
垂直的直线X=m;
通过弦长关系可以确定L:
(L/2)^2+(m-X1)^2=R^2;根据题目可以知道弦长能保持定值，为了计算上的方便可以用特殊值法。
即:假定K=1;
则有:L^2/4=R^2-(m-X1)^2为一个定值;
L^2/4=12-4√5-20-4√5(m-6)-(m-6)^2;
进一步整理:右边=-m^2-(4√5-12)m+28+20√5;
构造函数:F(X)=-X^2-(4√5-12)X+28+20√5;求导并令导数为0;则有:
-2X-4√5+12=0;解得X=6-2√5=X1值;
故此有:当M=6-2√5;满足。也就是说垂直直线X=6-2√5=XA值。
1）y1=a(x-k)^2+2(k＞0),y1+y2=x^2+6x+12 
 
=>y2=x^2+6x+12-y1 
=>y2=x^2+6x+12-[a(x-k)^2+2]==>当x=k时，y2=17 
=>k^2+6k+12-2=17 
==>k1=1,k2=-7 
==>k>0==>k=1 
2）y2=x^2+6x+12-[a(x-k)^2+2] 
==>y2=x^2+6x+12-[a(x-1)^2+2] 
==>y2=[1-a]x^2+[6+2a]x+10-a 
==>-b/2a=-[6+2a]/2[1-a]=-1 
==>a=-1 
==>y1=a(x-k)^2=-(x-1)^2=-x^2+2x-1 
y2=[1+1]x^2+[6-2]x+10+1=2x^2+4x+11 
3）y1=y2==>-x^2+2x-1=2x^2+4x+11 
==>3x^2+2x+12=0==>Δ=-140无交点

2. ae＝af，bd＝cd，证明:ab＝ac

解答:根据题意:
直线L:y=k(x-4);抛物线:y^2=4x;
(K≠0)
联立两式子，整理可得:
k^2X^2-(8k^2+4)x+16K^2=0;
根据韦达定理:X1+X2=8+k^2/4;X1X2=16;
所以:y1+y2=k(x1-4)+k(x2-4)=K(X1+X2)-8K=4/k;(K≠0)
因此:AP的中点o(X1/2+2;y1/2)为圆心;
半径R=|AP|/2=]1/2√[(X1-4)^2+y1^2]
;
垂直的直线X=m;
通过弦长关系可以确定L:
(L/2)^2+(m-X1)^2=R^2;根据题目可以知道弦长能保持定值，为了计算上的方便可以用特殊值法。
即:假定K=1;
则有:L^2/4=R^2-(m-X1)^2为一个定值;
L^2/4=12-4√5-20-4√5(m-6)-(m-6)^2;
进一步整理:右边=-m^2-(4√5-12)m+28+20√5;
构造函数:F(X)=-X^2-(4√5-12)X+28+20√5;求导并令导数为0;则有:
-2X-4√5+12=0;解得X=6-2√5=X1值;
故此有:当M=6-2√5;满足。也就是说垂直直线X=6-2√5=XA值。
1）y1=a(x-k)^2+2(k＞0),y1+y2=x^2+6x+12
=>y2=x^2+6x+12-y1
=>y2=x^2+6x+12-[a(x-k)^2+2]==>当x=k时，y2=17
=>k^2+6k+12-2=17
==>k1=1,k2=-7
==>k>0==>k=1
2）y2=x^2+6x+12-[a(x-k)^2+2]
==>y2=x^2+6x+12-[a(x-1)^2+2]
==>y2=[1-a]x^2+[6+2a]x+10-a
==>-b/2a=-[6+2a]/2[1-a]=-1
==>a=-1
==>y1=a(x-k)^2=-(x-1)^2=-x^2+2x-1
y2=[1+1]x^2+[6-2]x+10+1=2x^2+4x+11
3）y1=y2==>-x^2+2x-1=2x^2+4x+11
==>3x^2+2x+12=0==>Δ=-140无交点

3. ∠1=∠2, ad∥bc证明

在ABD与DCB中
  ∠BAD=∠BCD
  ∵｛∠1=∠2
  BD=DB
  ∴ABD≌DCB
  ∴∠ABD=∠CDB
  ∴AB‖CD

4. ∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,证明:△ABC≌△DCB

因为∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC，BC=CB
所以△ABC≌△DCB

所以AB=DC,∠A=∠D,∠AOB=∠DOC
所以△ABO≌△DCO

5. 证明 P∧Q→R,┐R∨S,┐S => ┐P∨┐Q .

1、┐S 
  2、┐R∨S
  3、R     12析取三段论
  4、P∧Q→R
  5、┐(P∧Q)      34拒取式
  6、┐P∨┐Q     5置换

6. 证明：2cosθ?sin2θ2cosθ+sin2θ＝tg2(90°?θ2).

证：左边=2cosθ(1?sinθ)2cosθ(1+sinθ)=1?sinθ1+sinθ=1?cos(90°?θ)1+cos(90°?θ)=tg2 (90°?θ2)=右边．

7. 证明：tanα?sinαtanα?sinα=tanα+sinαtanα?sinα

要使tanα?sinαtanα?sinα=tanα+sinαtanα?sinα成立，则只需（tanα?sinα）2=（tanα+sinα）（tanα-sinα）成立，∵tan2α-sin2α=sin2αcos2α?sin2α=（sin2α）（1cos2α?1）=sin2α?1?cos2αcos2α=sin2α?sin2αcos2α=（tanα?sinα）2成立，∴原等式成立．

8. AB∥EF,∠DCB=70°。∠CBF=20°,∠EFB=130°，证明CD∥AB

证明：∵AB∥EF，
∴∠ABF=180°-∠AFB=50°，
∴∠ABC=∠ABF+∠CBF=70°，
∴∠DCB=∠ABC，
∴CD∥AB。